Eksponentiel vækst

I indledningen til dette kapitel blev det påstået at eksponentielle funktioner vokser med en fast procent. I den næste øvelse vil vi efterprøve den påstand på en konkret funktion.

Øvelse 1

📌

Betragt sildebenet for $$f(x)=2\cdot 1{,}3^x$$:

$$x$$ 0 1 2 3
$$f(x)$$ 2 2,6 3,38 4,39
Hvor mange procent vokser $$f$$ med når $$x$$ vokser med 1?

$$f$$ vokser med 30% når $$x$$ vokser med 1.

Som øvelse 1 bekræftede vokser eksponentielle funktioner med en fast procent når $$x$$ vokser med 1. Vi skal nu se på hvordan man nemt finder væksten. Først definerer vi vækstraten:

Definition 1

📌

Vækstraten $$r$$ bestemmes ved $$r=a-1$$.

Vi finder væksten ved hjælp af følgende sætning:

Sætning 1

📌

For en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ gælder:

Hver gang $$x$$ vokser med 1 vokser $$y$$ med: $$r \cdot 100\%$$.

Vækstraten $$r$$ er altså den procentvise vækst som decimaltal.

Eksempel 1

📌

Vi bestemmer vækstraten for funktionen $$f(x)=2\cdot 1{,}3^x$$ fra øvelse 1. Vi har $$$r=a-1=1{,}3-1=0{,}3.$$$ Altså er vækstraten $$r=0{,}3$$. Det betyder at funktionen vokser med 30% hver gang $$x$$ vokser med 1.

Øvelse 2

📌

Vi bestemmer vækstraten for funktionen $$f(x)=7\cdot 0{,}9^x$$. Vi har $$$r=a-1=0{,}9-1=-0{,}1.$$$ Altså er vækstraten $$r=-0{,}1$$. At vokse med -10% er det samme som at aftage med 10%. Altså aftager $$f$$ med 10% hver gang $$x$$ vokser med 1.

Øvelse 3

📌

Bestem vækstraten for følgende funktioner. Hvor mange procent vokser de med, når $$x$$ vokser med 1?

  1. $$f(x)=3\cdot 1{,}2^x$$

    $$r=0{,}2$$, vokser med 20%

  2. $$f(x)=2000\cdot 4^x$$

    $$r=3$$, vokser med 300%

  3. $$f(x)=20\cdot 0{,}8^x$$

    $$r=-0{,}2$$, aftager med 20%.

Eksempel 2

📌

En vintage guitar kostede 30.000 kr. i år 2014 og stiger med 5% om året. Vi kan beskrive guitarens værdi med funktionen: $$$f(x)=30000\cdot 1{,}05^x,$$$ hvor $$x$$ er antal år efter 2014 og $$f(x)$$ er guitarens værdi.

Øvelse 4

📌

På en fremmet planet var befolkningstallet 1. januar 2014 på 7,15 milliarder og voksede med ca. 1,2% hvert år.

  1. Angiv vækstraten for befolkingstallet.

    $$r=0{,}012$$.

  2. Opskriv en forskrift for en funktion der beskriver befolkningstallet i milliarder, $$x$$ år efter år 1. januar 2014.

    $$f(x)=7{,}15\cdot 1{,}012^x$$.

  3. Hvor mange rumvæsener er der ifølge modellen på planeten 1. januar 2020?

    Der er 7,68 milliarder mennesker på planten i år 2020

  4. I hvilket årstal kommer vi ifølge modellen første gang over 10 milliarder?

    År 2042.