Fordobling og halveringskonstant

Fordoblings og halveringskonstanter er størrelser vi knytter til eksponentielle funktioner som siger noget om funktionernes vækst.

Definition 1

📌

Lad $$f(x)$$ være en voksende funktion. Fordoblingskonstanten $$T_2$$ er længden på det stykke vi skal gå ud af x-aksen for at fordoble funktionsværdien:

Graf

Definition 2

📌

Lad $$f(x)$$ være en aftagende funktion. Halveringskonstanten $$T_½$$ er længden på det stykke vi skal gå ud af x-aksen for at halvere funktionsværdien:

Graf

Læg mærke til at definitionerne ikke siger noget om hvor vi skal starte. Hvis f.eks. $$T_2=5$$ for en funktion $$f$$, så vil funktionen fordobles hver gang $$x$$ vokser med $$5$$ - uanset hvilken $$x$$-værdi vi starter på.

Eksempel 1

📌

Vi vil nu finde fordoblings og halveringskonstanten for funktioner som er afbilledet i de to ovenstående definitioner. Den første må have en fordoblingskonstant på $$T_2=4-2=2$$ og den anden må have en halveringskonstant på $$4-2{,}5=1{,}5$$.

Øvelse 1

📌

Bestem ved hjælp af Geogebra fordoblingskonstanterne (bare sådan ca.) for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=7\cdot 1{,}4^x$$

    $$T_2=2$$

  2. $$f(x)=3\cdot 2{,}8^x$$

    $$T_2=0{,}7$$

Øvelse 2

📌

Bestem ved hjælp af Geogebra halveringskonstanten (bare sådan ca.) for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=17\cdot 0{,}3^x$$

    $$T_\frac{1}{2}=0{,}6$$

  2. $$f(x)=5\cdot 0{,}9^x$$

    $$T_\frac{1}{2}=6{,}6$$

Øvelse 3

📌

Benjamin vil gerne have du enten finder fordoblings eller halveringskonstanten for følgende funktion: $$f(x)=50\cdot 0{,}7^x$$.

  1. Vil du finde fordoblings eller halveringskonstanten? Argumenter for dit valg.

    Da $$0{,}7<1$$ er funkltionen aftagende og derfor er det kun halveringskonstanten der kan bestemmes.

  2. Bestem den!

    $$T_\frac{1}{2}=1{,}94$$.

Der findes heldigvis formler til beregning af fordoblings og halveringskonstanten:

Sætning 1

📌

Fordoblings eller halveringskonstanten kan bestemmes ved følgende formler: $$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\quad\textrm{ og }\quad T_\frac{1}{2}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(a)}$$$

Øvelse 4 (svær)

📌

Det ses, at fordoblingskonstanten og halveringskonstanten kun afhænger af $$a$$ og altså ikke af $$b$$.

Forklar, hvorfor det ikke er så mærkeligt.

I en eksponentiel funktion er det alene $$a$$ som bestemmer, hvor meget funktionen vokser/aftager. Da fordoblings og halveringskonstanter kun udtrykker noget om væksten er det ikke så underligt at de kun afhænger af $$a$$.

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=5\cdot 0{,}95^x$$. Vi vil nu beregne halveringskonstanten for $$f$$:

$$$T_\frac{1}{2}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(a)}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0{,}95)}=13{,}51$$$

Øvelse 5

📌

Beregn:

  1. $$T_\frac{1}{2}$$ når $$f(x)=10\cdot 0{,}87^x$$

    $$T_\frac{1}{2}=4{,}98$$

  2. $$T_2$$ når $$f(x)=70\cdot 3^x$$

    $$T_2=0{,}63$$

  3. $$T_2$$ når $$f(x)=30\cdot 0{,}75^x$$

    Man kan ikke finde fordoblingskonstanten for en aftagende funktion dit fjols.

Øvelse 6

📌

Vi vender nu tilbage til planeten hvis befolkningstal kunne beskrives med funktionen: $$f(x)=7{,}15\cdot 1{,}012^x$$, hvor $$x$$ er antal år efter 2014 og $$f(x)$$ er befolkningstallet.

  1. Hvor mange år skal der gå efter 2014 før at der er dobbelt så mange mennesker på planeten som i 2014?

    58,11 år (fordoblingskonstanten).

  2. I hvilket årstal er det?

    Det sker i løbet af år 2072.