Grafen for en eksponentiel funktion

Øvelse 1

📌

Hvad er en eksponentiel funktion?

Giv et konkret eksempel på en eksponentiel funktion og tegn grafen i Geogebra. Husk at du skal skrive punktum i stedet for komma, hvis du vil skrive et decimaltal i Geogebra.

En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften $$f(x)=ba^x$$. Et konkret eksempel kunne være $$f(x)=30\cdot 1{,}2^x$$. I Geogebra skulle du så skrive 30*1.2^x. Graf

Øvelse 2

📌

Lad $$f(x)=5\cdot 1{,}1^x$$.

  1. Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.

    Grundtallet: $$a=1{,}1$$. Begyndelsesværdien: $$b=5$$

  2. Bestem $$f(0)$$.

    $$f(0)=5$$

  3. Tegn grafen i Geogebra.

    Graf

  4. Bestem ved aflæsning $$f(-2)$$ og $$f(5)$$.

    $$f(-2)=4$$ og $$f(5)=8$$. Sådan ca. i hvert fald:-)

  5. Løs ved aflæsning ligningen $$f(x)=6$$. Det skal bare være en ca. løsning.

    $$x=2$$. Helt præcist: $$x=1{,}91$$.

  6. Løs ved aflæsning ligningen $$f(x)=2$$. Det skal bare være en ca. løsning.

    $$x=-10$$. Helt præcist: $$x=-9{,}61$$.

Øvelse 3

📌

Skriv den generelle forskrift for en eksponentiel funktion ind i Geogebra. Det gør du ved at skrive "b*a^x" og sige "ja" til at oprette "skydere" når Geogebra spørger dig. Ved at trække i skyderne skal du undsøge nedenstående spørgsmål. Husk at $$b>0$$, $$a>0$$ og $$a\neq 1$$

  1. Når $$a$$ går fra at være større end 1 til at blive mindre end 1 sker der noget. Hvad er det?

    Grafen går fra at være voksende til at være aftagende

  2. Hvad sker der når $$a$$ er meget stor?

    Grafen bliver hurtigt meget stejl.

  3. Hvad sker der når $$a$$ er meget tæt på nul?

    Grafen aftager meget hurtigt og bliver tæt på nul.

  4. Hvilken betydning har $$b$$ for grafen?

    Grafen skærer y-aksen i $$b$$.

Definitionsmængde og værdimængde for en eksponentiel funktion:

Øvelse 4

📌

Alle eksponentielle funktioner har samme definitions og værdimængde.

Du skal ved hjælp af geogebra undersøge definitions og værdimængden for en eksponentiel funktion. Dvs. tegn en hvilken som helst eksponentiel funktion og aflæs definitionsmængden og værdimængden.

For alle eksponentielle funktioner $$f(x)$$ gælder at Dm$$(f)=\mathbb{R}$$ dvs. Dm$$(f)=]-\infty;\infty[$$ og Vm$$(f)=]0;\infty[$$

Bestemmelse af forskriften når vi kender to punkter på grafen

Ligesom ved lineære funktioner kan vi finde forskriften når vi kender to punkter på grafen. Vi har følgende sætning:

Sætning 1

📌

Hvis grafen for en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$ så kan $$a$$ og $$b$$ bestemmes med følgende formler: $$$a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}\quad \textrm{ og }\quad b=\frac{y_1}{a^{x_1}}$$$

Det er en forudsætning for at kunne anvende sætning 1, at man kan uddrage rødder. Altså at man kan beregne f.eks. $$\sqrt[3]{8}$$. Metoden til at udregne den slags udtryk afhænger af hvilket computerprogram/lommeregner man bruger. Men er er et smart trick. Man kan anvende reglen $$$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}.$$$ Det virker på alle computere/lommeregnere.

Eksempel 1

📌

Vi vil udregne $$\sqrt[3]{8}$$. Vi taster derfor følgende ind på lommeregneren/Excel: "8^(1/3)". Det giver så 2.

Øvelse 5

📌

Udregn følgende rødder:

  1. $$\sqrt[3]{27}$$

    $$\sqrt[3]{27}=3$$

  2. $$\sqrt[4]{16}$$

    $$\sqrt[4]{16}=2$$

  3. $$\sqrt[5]{10}$$

    $$\sqrt[5]{10}=1{,}58$$

Eksempel 2

📌

Vi vil bestemme forskriften for den eksponentielle funktion gennem punkterne $$(1;2)$$ og $$(5;7)$$. Vi finder først $$a$$: $$$a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}=\sqrt[5-1]{\frac{7}{2}}=\sqrt[4]{3,5}=1{,}3679.$$$ Vi finder derefter $$b$$: $$$b=\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{2}{1{,}3679^1}=1{,}46.$$$ Til sidst sætter vi $$a$$ og $$b$$ ind i den generelle forskrift $$f(x)=ba^x$$: $$$f(x)=1{,}46\cdot 1{,}37^x.$$$

Øvelse 6

📌
  1. Bestem forskriften den eksponentielle funktion som går igennem $$(3,5)$$ og $$(8,27)$$.

    $$f(x)=1{,}82\cdot 1{,}40^x$$

  2. Bestem forskriften den eksponentielle funktion som går igennem $$(1,720)$$ og $$(7,527)$$.

    $$f(x)=758{,}44\cdot 0{,}95^x$$

  3. Tegn de to funktioner ind i Geogebra og tjek at dine funktioner rent faktisk går igennem punkterne. Husk at du skal skrive punktum i stedet for komma, hvis du vil skrive et decimaltal i Geogebra.

    Graf Grafer