Introduktion

Vi starter selvfølgelig med at definere hvad en eksponentiel funktion er:

Definition 1

📌

En eksponentiel funktion er en funktion på formen $$f(x)=ba^x$$, hvor $$a>0$$ $$a\neq 1$$ og $$b>0$$.

Tallet $$a$$ kaldes grundtallet (eller fremskrivningsfaktoren) og $$b$$ kaldes begyndelsesværdien.

Ud fra $$a$$ kan vi bestemme hvor meget funktionen vokser og $$b$$ viser hvor funktionen skærer $$y$$-aksen. Mere om det senere...

Øvelse 1

📌
Sig "eksponentiel funktion" højt 5 gange efter hinanden.

Tryk "lyt" 5 gange her: Eksponentiel funktion

Øvelse 2

📌

I definition 1 stod der at $$a>0$$, $$a\neq 1$$ og $$b>0$$.

Hvad betyder det?

$$a>0$$ betyder at $$a$$ skal være større ned nul. At $$a\neq 1$$ betyder at $$a$$ ikke må være 1. At $$b>0$$ betyder at $$b$$ skal være større end nul.

Øvelse 3

📌

Bestem $$a$$ og $$b$$ i følgende eksponentielle funktioner.

  1. $$f(x)=2\cdot 5^x$$

    $$a=5$$ og $$b=2$$.

  2. $$f(x)=3000\cdot 1{,}02^x$$

    $$a=1{,}02$$ og $$b=3000$$.

  3. $$f(x)=1{,}4^x$$

    $$a=1{,}4$$ og $$b=1$$

Øvelse 4

📌

Afgør hvilke af følgende funktioner der er eksponentielle funktioner:

  1. $$f(x)=2\cdot 3^x$$

    yes den er god nok

  2. $$f(x)=2x^2+1$$

    nope

  3. $$f(x)=4\cdot x^2$$

    næh

  4. $$f(x)=1{,}3^x$$

    jes

  5. $$f(x)=20\cdot 1^x$$

    duer ikke

  6. $$f(x)=-3\cdot 6^x$$

    no

  7. $$f(x)=5\cdot 1^x$$

    nah

Øvelse 5

📌

Lad $$f(x)=5000\cdot 1{,}6^x$$.

  1. Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.

    Grundtallet $$a$$ er 1,6 og begyndelsesværdien $$b$$ er 5000.

  2. Bestem $$f(-1)$$ og $$f(3)$$.

    $$f(-1)=3125$$ og $$f(3)=20480$$.

Øvelse 6

📌

Antag at indbyggertallet i en bestemt by kan beskrives med funktionen $$f(x)=10312\cdot 1{,}05^x$$, hvor $$x$$ er antal år efter 2014.

  1. Hvor mange indbyggere er der i byen 5 år efter 2014?

    Der er 13161 indbyggere i byen efter 5 år.

  2. Hvor mange indbyggere er der i byen i år 2025?

    Der er 17637 indbyggere i år 2025.