Ekstrema

Et ekstremum (flertal: ekstrema) er en maksimum eller minimumsværdi for en funktion.

Betragt grafen:

Nulpunkt

Kigger man f.eks. på punktet $$D$$ kan man se at det ligger på toppen af en bue. Punktet er ikke det højeste punkt på hele grafen, men det er det højeste i et område omkring punktet:

Nulpunkt

Punktet $$D$$ markerer et lokalt maksimum. Havde $$D$$ været det højeste punkt på hele grafen havde det været et globalt maksimum. På tilsvarende måde kan vi se at $$C$$ markerer et lokalt minimum. Førstekoordinaten til et ekstremum kaldes ekstremumsstedet og andenkoordinaten kaldes ekstemumsværdien (eller bare funktionens maksimum/minimum).

Øvelse 1

📌
Afgør typen af ekstrema for resten af punkterne på grafen.

$$A$$: globalt minimum
$$B$$: lokalt maksimum
$$E$$: lokalt minimum
$$F$$: lokalt maksimum

Eksempel 1

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$. Vi vil gerne bestemme funktionens ekstrema.

Nulpunkt

Vi kan se at det laveste punkt på grafen er $$(0,1)$$. Derfor punktet $$(0,1)$$ et globalt minimumspunkt for $$f$$.

Funktionen har ikke andre ekstrema.

Minimumsstedet er $$0$$ og minimumsværdien er $$1$$.

Vi siger at "$$f$$ har et globalt minimum i $$x=0$$ med minimumsværdi $$1$$".

Øvelse 2

📌

Betragt grafen for funktionen $$g$$

Nulpunkt

Bestem ekstrema for $$g$$

Funktionen har et globalt maksimum i $$x=-1$$ med maksimumsværdi $$2$$.

Eksempel 2

📌

Vi vil bestemme ekstrema for funktionen:

Nulpunkt

Vi kan se at funktionen har lokalt maksimum i $$x=-2)$$ og globalt minimum i $$x=1$$, men hvad med punktet $$P$$?

Fordi $$P$$ er markeret med en åben bolle betyder det at det ikke ligger på grafen og derfor er det ikke noget minimumspunkt.

Der er altså ikke andre ekstrema andre steder end i $$x=-2$$ og i $$x=1$$.

Øvelse 3

📌

Betragt grafen for funktionen $$f$$

Nulpunkt

Bestem ekstrema for $$f$$

Funktionen har globalt minimum $$-2{,}5$$ i $$x=-2$$ og globalt maksimum $$2$$ i $$x=1$$.