Fortegn

Fortegn betyder plus eller minus. Når vi laver en fortegnsundersøgelse, undersøger vi hvor grafen ligger under/over $$x$$-aksen. Mere præcist undersøger vi for hvilke $$x$$-værdier funktionsværdierne er positive, for hvilke $$x$$-værdier funktionsværdierne er negative, og for hvilke $$x$$-værdier funktionsværdierne er $$0$$. Resultatet af en fortegnsundersøgelse kaldes fortegnsvariationen.

Ligesom ved nulpunkter er det nemmest at bestemme fortegnsvariationen grafisk.

Fortegnsundersøgelse ved grafisk aflæsning

Har man grafen for en funktion, kan man altså aflæse fortegnsvariationen ved at se på for hvilke $$x$$-værdier funktionen er over $$x$$-aksen, og for hvilke $$x$$-værdier den er under $$x$$-aksen.

Eksempel 1

📌

Betragt følgende graf:

Graf

Ud fra grafen kan vi aflæse fortegnsvariationen ved at se på hvornår grafen ligger over/under $$x$$-aksen. Vi kan aflæse:

$$f$$ er negativ i intervallerne $$]-\infty;-3[ $$ og $$]0;2[$$.
$$f$$ er nul når $$x$$ er -3, 0 eller 2.
$$f$$ er positiv i intervallerne $$]-3;0[$$ og $$]2;\infty[$$.

Hvis man vil imponere lærer/censor så skriver man fortegnsvariationen på følgende måde:

$$f(x)<0$$ når $$x\in]-\infty;-3[\cup]0;2[$$
$$f(x)=0$$ når $$x\in \{-3;0;2\}$$
$$f(x)>0$$ når $$x\in]-3;0[\cup]2;\infty[$$

Når vi skriver $$\{-3;0;2\}$$ betyder det "mængden bestående af tallene $$-3$$, $$0$$ og $$2$$. Vi husker også at $$\cup$$ betyder foreningsmænde, altså det de to intervaller udgør tilsammen. Er man usikker på, hvordan man skal skrive fortegnsvaritionen op, er det helt fint at vælge den første måde.

Øvelse 1

📌

Betragt grafen:

Graf

Lav en fortegnsundersøgelse for funktionen givet ved ovenstående graf.

$$f(x)<0$$ når $$x\in]-1;2[$$
$$f(x)=0$$ når $$x\in \{-1;2\}$$
$$f(x)>0$$ når $$x\in]-\infty;-1[\cup]2;\infty[$$

Øvelse 2

📌

Betragt grafen:

Graf

Lav en fortegnsundersøgelse for funktionen givet ved ovenstående graf.

$$f(x)<0$$ når $$x\in]-1;0[\cup]0{,}5;1[$$
$$f(x)=0$$ når $$x\in \{-1;0;0{,}5;1\}$$
$$f(x)>0$$ når $$x\in]-\infty;-1[\cup]0;0{,}5[\cup]1;1{,}5]$$:

Fortegnsundersøgelse ved beregning

Som sagt er det lidt sværere at beregne fortegnsvariationen end at aflæse den. Strategien går ud på først at bestemme nulpunkterne, og derefter undersøge fortegnene rundt om nulpunkterne.

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=3x+6$$. Vil vil lave en fortegnsundersøgelse.

Vi finder først nulpunkter:

\begin{align}f(x)&=0\\3x+6&=0\\3x&=-6\\x &=\frac{-6}{3}\\x&=-2\end{align}

Vi vælger nu en $$x$$-værdi til venstre ($$-3$$) og en $$x$$-værdi til højre ($$0$$) for nulpunktet og udregner $$f(x)$$

$$f(-3)=3\cdot (-3)+6=-3$$ og $$f(0)=3\cdot 0+6=6$$

Vi stiller det hele op i en tabel

$$x$$ -3 -2 0
$$f(x)$$ -3 0 6
$$\textrm{Fortegn}$$ - 0 +

Ud fra tabellen kan vi nu opskrive fortegnsvariationen:

$$f(x)<0$$ når $$x\in]-\infty;-2[$$
$$f(x)=0$$ når $$x=-2$$
$$f(x)>0$$ når $$x\in ]-2;\infty[$$

Øvelse 3

📌
Beregn fortegnsvariationen for funktionen $$f(x)=-0{,}5x+2$$

$$f(x)>0$$ når $$x\in ]-\infty;4[$$
$$f(x)=0$$ når $$x=4$$
$$f(x)<0$$ når $$x\in ]4;\infty[$$

Øvelse 4

📌
Lav ved beregning en fortegnsundersøgelse af funktionen $$f(x)=27$$

Funktionen $$f$$ er positiv overalt.