Definition

Definition 1

📌

En lineær funktion er en funktion med forskriften $$f(x)=ax+b$$, hvor $$a$$ og $$b$$ er to reelle konstanter.

Tallet $$a$$ kaldes hældningskoefficienten, eller hældningstallet, eller bare hældningen.

Eksempel 1

📌
  1. Funktionen $$f(x)=2x+1$$, er en lineær funktion med $$a=2$$ og $$b=1$$.
  2. Funktionen $$f(x)=-3x$$, er en lineær funktion med $$a=-3$$ og $$b=0$$.
  3. Funktionen $$f(x)=5$$, er en lineær funktion med $$a=0$$ og $$b=5$$.
  4. Funktionen $$f(x)=2x^2+3$$, er ikke en lineær funktion da den ikke har formen $$f(x)=ax+b$$.

Øvelse 1

📌

Afgør hvilke af følgende funktioner som er lineære og bestem for disse tallene a og b:

  1. $$f(x)=3x+2$$

    Lineær. Vi har $$a=3$$ og $$b=2$$.

  2. $$f(x)=2x$$

    Lineær. Vi har $$a=2$$ og $$b=0$$.

  3. $$f(x)=x$$

    Lineær. Vi har $$a=1$$ og $$b=0$$.

  4. $$f(x)=x^2$$

    Ikke lineær.

  5. $$f(x)=-x$$

    Lineær. Vi har $$a=-1$$ og $$b=0$$.

  6. $$f(x)=\frac{1}{x}$$

    Ikke lineær.

  7. $$f(x)=0$$

    Lineær. Vi har $$a=0$$ og $$b=0$$.

  8. $$f(x)=-1$$

    Lineær. Vi har $$a=0$$ og $$b=-1$$.

Øvelse 2

📌
Angiv hældningskoefficienten for funktionen $$f(x)=-3x+2$$

Hældningskoefficienten er -3.

Øvelse 3

📌

For at regne denne øvelse er du måske nødt til at gå tilbage og genlæse dele af afsnittet om funktioner.

Lad $$f(x)=2x-1$$.

  1. Tegn grafen. Du må godt bruge Geogebra.

    Graf

  2. Bestem definitions og værdimængden.

    $$\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}$$ og $$\textrm{Vm}(f)=\mathbb{R}$$. Vi husker at $$\mathbb{R}$$ betyder "alle tal".

  3. Bestem nulpunkter.

    $$x=0{,}5$$

  4. Bestem fortegn.

    $$f$$ er negativ i intervallet $$]-\infty;0{,}5[$$
    $$f$$ nul i $$x=0{,}5$$
    $$f$$ positiv i intervallet $$]0{,}5;\infty[$$.

  5. Bestem monotoniforhold

    $$f$$ er voksende.

  6. Bestem ekstrema.

    $$f$$ har ingen ekstrema.

Hvis du kan komme med beregningsargumenter er det bedre end aflæsning...

Øvelse 4

📌

Lad $$f(x)=-x+2$$ hvor $$x\in[0;\infty[$$

  1. Bestem hældningen,

    Hædningen er -1.

  2. Tegn grafen. Du må godt bruge Geogebra.

    Graf

  3. Bestem definitions og værdimængden.

    $$\textrm{Dm}(f)=[0;\infty[$$ og $$\textrm{Vm}(f)=]-\infty;2]$$

  4. Bestem nulpunkter.

    $$x=2$$

  5. Bestem fortegn.

    $$f$$ er positiv i $$[0;2[$$
    $$f$$ er nul i $$x=2$$
    $$f$$ er negativ i $$]2;\infty[$$

  6. Bestem monotoniforhold.

    $$f$$ er aftagende.

  7. Bestem ekstrema.

    $$f$$ har et globalt maksimum på $$2$$ i $$x=0$$.