Lineære funktioner i det virkelige liv

Vi husker at en lineær funktioner skærer $$y$$-aksen i $$b$$ og vokser med $$a$$, hver gang $$x$$ vokser med 1. Altså kan lineære funktioner bruges til at beskrive situationer hvor vi starter på et bestemt tal og så har en fast vækst eller fald.

Eksempel 1

📌

Antag at en taxatur koster 24 kr. i starttakst og 14,2 kr. pr. km. Vi kan beskrive prisen for en taxatur vha. en lineær funktion $$$f(x)=ax+b$$$ hvor $$x$$ er antal kilometer og $$f(x)$$ er prisen. Vi ved at $$b$$ er skæringen med $$y$$-aksen hvilket svarer til $$x$$-værdien $$0$$. Altså må $$b$$ være starttaksten da den jo svarer til at taxaen har kørt $$0$$ km.

Så mangler vi bare $$a$$ som er det vi skal gå op hver gang $$x$$ vokser med 1. Altså må $$a$$ være prisen pr. km, da det jo svarer til det prisen vokser hver gang vi kører en km. Alt i alt får vi: $$$f(x)=14{,}2x+24.$$$

Vi bemærkert at $$\textrm{Dm}(f)=[0;\infty[$$, da man ikke kan køre et negativt antal kilometer.

Øvelse 1

📌
  1. Tegn grafen for funktionen $$f(x)$$ fra eksempel 1. Du må gerne bruge Geogebra.

    Graf
    Læg mærke til at der forskellige enheder på akserne.

  2. Hvad er prisen, når man kører 10 km?

    Prisen ved 10 km er 166 kr.

  3. Hvor langt kan man komme for 100 kr.?

    5,35 km.

  4. Hvad er $$\textrm{Vm}(f)$$?

    $$\textrm{Vm}(f)=[24;\infty[$$.

Øvelse 2

📌

En anden taxatur koster 37 kr. i starttakst og 15 kr. pr. km.

Bestem en forskrift for denne funktion.

$$f(x)=15x+37$$ hvor $$x\in[0;\infty[$$.

Øvelse 3

📌

En elev kigger ud på sin græsplæne og opdager pludselig at græsset højde i cm kan beskrives med en lineær funktion $$$f(x)=1{,}5x+5$$$ hvor $$x$$ er antallet af uger efter i dag og $$f(x)$$ er højden.

Forklar betydningen af tallene 1,5 og 5 i forskriften.

Tallet 1,5 betyder at græsset vosker med 1,5 cm pr. uge og tallet 5 betyder at græsset lige nu er 5 cm højt.

Øvelse 4

📌

Prisen $$f(x)$$ for en bestemt vare som funktion af efterspørgslen er givet ved: $$$f(x)=-2x+400$$$

Prisen $$g(x)$$ for den samme vare som funktion af udbuddet er givet ved: $$$g(x)=2x+200$$$

Bestem ligevægtsprisen (den pris hvor udbud og efterspørgsel er ens).

Ligevægtsprisen er 300.

Øvelse 5

📌

En virksomhed producerer en vare. De fast omkostninger er 50000 kr. og derefter er der en enhedsomkostning på 130 kr. pr. kg. Virksomheden kan sælge varen for 200 kr. pr. kg.

  1. Bestem en forskrift for funktionen $$C$$ som beskriver omkostningerne $$C(x)$$ i kr. som funktion af vægten $$x$$ i kg.

    $$C(x)=130x+50000$$

  2. Bestem en forskrift for funktionen $$R$$ som beskriver omsætningen $$R(x)$$ i kr. som funktion af vægten $$x$$ i kg.

    $$R(x)=200x$$

  3. Bestem omkostningerne ved en produktion på 100 kg.

    63000 kr.

  4. Hvor mange kg. skal virksomheden producere før det giver overskud?

    714,29 kg.

Øvelse 6

📌
Find selv på en situation, der kan beskrives vha. en lineær funktion.

Jeg kan ikke vide hvad du finder på. Vi kan snakke om det i klassen.

VINK: Kig f.eks. på en situation, hvor du både har et abonnement og en forbrugspris. Det kan altså være telefonabonnement, elregning osv. Opskriv forskriften og tegn funktionen.