Skæringspunkter

Vi vender nu tilbage til det klassiske problem med at finde skæringspunkt(erne) mellem to funktioner. Det er nemt at aflæse skæringspunkter.

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=-x^2+2$$ og lad $$g(x)=-2x+2$$. Vi vil nu bestemme skæringspunktet. Vi tegner i Geogebra og markerer de to skæringspunkter:

Skæringspunkt

Altså skæringspunkterne er $$(0,2)$$ og $$(2,-2)$$.

Det er nemt at aflæse skæringspunkter, men det er godt at kunne beregne også (hvis man vil have sin matematiklærers respekt).

Eksempel 2

📌

Vi vil nu beregne skæringspunkterne for funktionerne i eksempel 1. Man finder skæringspunkterne ved at sætte funktionerne lig hinanden og løse den ligning der fremkommer. Altså: $$$f(x)=g(x).$$$ Vi indsætter forskrifterne: $$$-x^2+2=-2x+2.$$$ Vi løser nu ligningen som en andengradsligning. Dvs. vi skal omforme den, så der står nul på den ene side: $$$-x^2+2+2x-2=0.$$$ Vi reducerer: $$$-x^2+2x=0.$$$ Nu finder vi diskriminanten: $$$d=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot 0=4-0=4.$$$ Vi bestemmer så de to løsninger: $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{4}}{2\cdot (-1)}=\frac{0}{-2}=0$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{4}}{2\cdot (-1)}=\frac{-4}{-2}=2.$$$ Altså er løsningen til ligningen $$x_1=0$$ og $$x_2=2$$. Nu har vi altså fundet x-værdierne til de to skæringspunkter. Vi mangler så bare y-værdierne. Dem finder vi ved at sætte x-værdierne ind i en af forskrifterne - vi bestemmer selv. Vi vælger at sætte dem ind i $$g(x)$$. Vi får den første y-værdi til: $$$g(0)=-2\cdot 0 +2=2,$$$ og den anden y-værdi til $$$g(2)=-2\cdot 2+2=-2.$$$ Vi får altså skæringspunkterne til $$(0,2)$$ og $$(2,-2)$$ lige som vi aflæste i eksempel 1.

Øvelse 1

📌

Bestem ved beregning skæringspunkterne mellem følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x^2\quad$$ og $$\quad g(x)=4$$

    Se øvelse 2 nedenunder

  2. $$f(x)=x^2+x-3\quad$$ og $$\quad g(x)=x+1$$

    Se øvelse 2 nedenunder

  3. $$f(x)=-x^2+1\quad$$ og $$\quad g(x)=\frac{1}{2}x+5$$

    Se øvelse 2 nedenunder

  4. $$f(x)=2x+1\quad$$ og $$\quad g(x)=-x+7$$

    Se øvelse 2 nedenunder

Øvelse 2

📌
Tjek resultatet af øvelse 1 ved at tegne funktionerne ind i Geogebra.

Gør det nu din dovne satan.

Øvelse 3

📌
Hvor mange skæringspunkter kan der være mellem to forskellige lineære funktioner?

Der er altid 1 skæringspunk, medmindre de er parallelle (dvs. de har samme a-værdi), så er der 0.