Beviser til binomialfordeling

Sætning for punktsandsynligheder i en Binomialfordeling

Første skridt

Vi opskriver den sætning vi gerne vil vise:

Sætning 1

📌

For en binomialfordeling $$b(n,p)$$ kan vi beregne sandsynlighederne med følgende formel:

$$$P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}.$$$

Næste skridt

Vi vil vise formlen gennem et eksempel. Det er normalt ikke noget man accepterer i et bevis, da man jo så i princippet ikke kan være sikker på at sætningen er gælder i alle tilfælde. Derfor skal vi hele tiden have i tankerne, at det vi gør også skal virke i andre tilfælde.

Vi kigger på tilfældet hvor $$r=2$$ og $$n=5$$. Vi skal altså have 2 successer i 5 forsøg. Det kan vi få på flere måder. Hvis vi kalder success for $$s$$ og fiasko for $$f$$ kunne det f.eks. se sådan ud.

Forsøg nr. 1 2 3 4 5
Succes/fiasko s s f f f

Det kunne også se sådan ud:

Forsøg nr. 1 2 3 4 5
Succes/fiasko f s s f f

Eller hvad med sådan?

Forsøg nr. 1 2 3 4 5
Succes/fiasko s f f s f

Der er flere muligheder...

Næste skridt

Vi vil nu se på sandsynlighederne for de 3 nævnte eksempler. Vi ved at sandsynligheden for success er $$p$$ og derfor må sandsynligheden for fiasko være $$1-p$$. Vi ved også at forsøgene er uafhængige, hvilket betyder at vi kan gange sandsynlighederne sammen for at få den samlede sandsynlighed. Derfor må sandsynligheden for det første eksempel være givet ved $$$p\cdot p\cdot (1-p)\cdot(1-p)\cdot(1-p)=p^2\cdot(1-p)^3.$$$

Det næste eksempel må have sandsynligheden $$$(1-p)\cdot p\cdot p\cdot (1-p)\cdot(1-p)=p^2\cdot(1-p)^3.$$$

Det sidste eksempel må have sandsynligheden $$$p\cdot (1-p)\cdot (1-p)\cdot p\cdot (1-p)=p^2\cdot(1-p)^3.$$$

Ved at tænke os lidt om kan vi godt se, at alle de forskellige mulige kombinationer af 2 successer og 3 fiaskoer må have samme sandsynlighed nemlig $$p^2\cdot(1-p)^3$$.

Næste skridt

Vi mangler nu bare at finde ud af hvor mange måder vi kan få de 2 successer i de 5 forsøg. Som det ses af tabellerne er det det samme som at spørge om hvor mange måder man kan pladsere 2 krydser på 5 pladser og det lærte vi heldigvis i kombinatorik. Det var jo tallet $$K(5,2)$$. Altså kan vi få 2 successer i 5 forsøg på $$K(5,2)$$ forskellige måder og hver af disse kombinationer har sandsynligheden $$p^2\cdot(1-p)^3$$.

Næste skridt

Vi kan nu finde dem samlede sandsynlighed $$P(X=2)$$ ved at gange antallet af kombinationer $$K(5,2)$$ med sandsynligheden $$p^2\cdot(1-p)^3$$ for hver af kombinationerne (da sandsynligheden for en hændelse er lig med summen af sandsynlighederne for de enkelte udfald). Vi får så: $$$P(X=2)=K(5,2)\cdot p^2 \cdot (1-p)^3.$$$

Sidste skridt

Vi husker nu hvor tallene 2, 3 og 5 kom fra. Tallet 2 kom fra at vi ville have to successer, så $$r=2$$. Tallet 5 kom fra at vi havde 5 forsøg, dvs. $$n=5$$. Tallet 3 kom fra at vi havde 3 fiaskoer og det fandt vi ud af ved at sige $$5-2=n-r$$. Derfor må vi have: $$$P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}.$$$