Introduktion til binomialfordelingen

Viiiiii starter med en definition.

Definition 1

📌

Et Bernoulli-forsøg er et stokastisk eksperiment som har to udfald: succes og fiasko. Sandsynligheden for succes betegnes med $$p$$ og skal være fast hver gang vi gentager forsøget.

Først et oplagt eksempel:

Eksempel 1

📌

Et kast med en mønt kan betragtes som et Bernoulli-forsøg. Vi bestemmer selv hvad der er succes og fiasko. Vi kunne f.eks. vælge krone som succes og plat som fiasko. Vi får så at $$p=\frac{1}{2}$$ da det sandsynligheden for krone.

og så et mindre oplagt eksempel:

Eksempel 2

📌

Et kast med en terning kan også betragtes som et Bernoulli-forsøg. Det kan umiddelbart virke lidt underligt, da man jo kunne tro der er 6 udfald når man kaster en terning. Men hvis vi f.eks. kun er interesseret i en 6'er får vi et Bernoulli-forsøg med $$p=\frac{1}{6}$$, da resten af mulighederne bliver betragtet som det samme udfald, nemlig fiasko.

Øvelse 1

📌
Hvad er sandsynliheden for fiasko i et Bernoulli-forsøg? Hvorfor?

Sandsynlighede for fiasko er $$1-p$$, da den samlede sandsynlig skal være 1 (altså 100%).

Definition 2

📌

En Binomialfordeling $$b(n,p)$$ er når vi gentager det samme Bernoulli-forsøg $$n$$ gange og tæller, hvor mange successer vi har fået. Antallet af successer betegner vi med $$X$$, som kaldes den Binomialfordelte stokastiske variabel og vi skriver $$X\sim b(n,p)$$. Altså:

  • $$n$$ er antal gange vi gentager Bernoulli-eksperimentet
  • $$p$$ kaldes basissandsynligheden og er sandsynligheden for succes i et enkelt forsøg
  • $$X$$ er antallet af succeser.

Bernoulli forsøgene skal være uafghængige.

Eksempel 3

📌

Kaster vi en terning 10 gange er antallet af 6'ere binomialfordelt $$X\sim b(10,\frac{1}{6})$$, hvor, $$X$$ er antallet af 6'ere, $$p=\frac{1}{6}$$ og $$n=10$$.

Eksempel 4

📌

En virksomhed som producerer en vare som de pakker i æsker med 12 i hver. Da det er mennesker der fremstiller varene er der fejl på nogle af dem. Ligesom på mathhx. Sandsynligheden for at der en defekt på en vare er 0,2%.

Vi er interesserede i, hvor mange varer der er defekter på i en pakke. Vi kan betragte, hvert vare som et Bernoulli-forsøg med $$p=0{,}002$$ (0,2%=0,002) og $$n=12$$.

Hvis vi kalder antallet af vare som har defekt for $$X$$ får vi $$X\sim b(12;0{,}002)$$

Øvelse 2

📌

Opskriv $$n$$ og $$p$$ og forklar hvad $$X$$ er for hver af følgende binomialfordelinger

  1. Vi kaster en terning 7 gange og er interesserede i hvor mange 1'ere vi har fået.

    Vi har $$p=\frac{1}{6}$$ og $$n=7$$, $$X$$ er antallet af 1'ere og $$X\sim b(7,\frac{1}{6})$$

  2. Vi kaster en mønt 5 gange og er interesserede i hvor mange "plat" vi har fået.

    Vi har $$p=\frac{1}{2}$$ og $$n=5$$, $$X$$ er antallet af "plat" og $$X\sim b(5,\frac{1}{2})$$

Sandsynligheder i binomialfordelingen

Nu har vi lært, hvad en binomialfordeling er, og vi har lært, hvad $$n$$, $$p$$ og $$X\sim b(n,p)$$ betyder og det er jo altsammen meget godt, men hvis det skal have nogen værdi er vi nødt til at finde ud af, hvordan man beregner sandsynlighederne i en binomialfordeling. Kigger vi på eksempel 4 kunne det jo være rart, hvis vi kunne beregne f.eks. sandsynligheden for at få en æske uden defekt varer. Det ville svare til at beregne $$P(X=0)$$ da $$X$$ jo er antallet af defekte varer. Den sandsynlighed kan findes vha. følgende sætning.

Sætning 1

📌

For en binomialfordeling $$X\sim b(n,p)$$ kan vi beregne sandsynlighederne med følgende formel:

$$$P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}$$$

Eksempel 5

📌

Vi bestemmer nu $$P(X=3)$$ for en binomialfordelt stokasisk variabel $$X\sim b(5;0{,}4)$$

$$$P(X=3)=K(5,3)\cdot 0{,}4^3 \cdot (1-0{,}4)^{5-3}$$$

Vi bestemmer $$K(5,3)$$ i excel ved at skrive "=KOMBIN(5;3)" og det giver 10. Vi regner videre

$$$P(X=3)=10\cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^{2}=0{,}2304=23{,4}\%$$$

Øvelse 3

📌
Bestem P(X=6) når $$X\sim b(10;0{,}4)$$

$$P(X=6)=11{,}15\%$$

Eksempel 6

📌

Med udgangspunkt i eksempel 4 bestemmer vi nu sandsynligheden for at få en æske uden defekte varer:

$$$P(X=0)=K(12,0)\cdot 0{,}002^0 \cdot (1-0{,}002)^{12-0}$$$

Vi bestemmer $$K(12,0)$$ i excel ved at skrive "=KOMBIN(12;0)" og det giver 1 (hvorfor er det ikke overaskende?). Vi regner videre

$$$P(X=0)=1\cdot 0{,}002^0 \cdot 0{,}998^{12}$$$

Da $$0{,}002^0=1$$ får vi $$P(X=0)=0{,}998^{12}=0{,}976262$$. Atlså er der 97,6% chance for at få en æske uden defekte varer.

Øvelse 4 (svær)

📌

Vi kunne også have beregnet sandsynligheden i eksempel 6 uden at bruge binomialfordeling.

Hvordan?

Da der kun er en måde man kan få en æske uden defekte vare kan vi bare gange sandsynligheden op - altså $$0{,}998^{12}$$.

Øvelse 5

📌

Beregn:

  1. P(X=2) når $$X\sim b(5;0{,}5)$$

    $$P(X=2)=31{,}25\%$$

  2. Sandsynligheden for at få en æske med netop en defekte vare (se eks. 4.)

    Sandsynligheden for en æske med 1 defekt vare er $$2{,}35\%$$

  3. Sandsynligheden for at en elev er fraværende i 1 matematikmodul på en måned, hvis eleven har 10% fravær i matematik og der er 8 moduler på en måned.

    Sandsynligheden for at eleven er fraværende i netop 1 modul er 38%.

Eksempel 7

📌

Vi vil nu beregne sandsynligheden for at der er højst er 1 defekt varer i hver æske (se eks. 4 ). Altså $$P(X\leq 1)$$.

Hvis $$X\leq 1$$ må det betyde at $$X=0$$ eller $$X=1$$ og da det er disjunkte hændelser kan vi finde sandsynligheden ved at sige $$$P(X\leq 1)=P(X=0) + P(X=1).$$$ Vi fandt $$P(X=0)$$ i eksempel 6 og $$P(X=1)$$ i øvelse 5 så vi får: \begin{align} P(X\leq 1)&=P(X=0) + P(X=1)\\&=0{,}976262+0{,}023447\\&=0{,}9997\\&=99{,}97\%\end{align} Vi kan altså være meget sikre på at der højst er en defekt pr. æske.

Øvelse 6

📌
  1. Vi kaster en terning. Bestem sandsynligheden for at få højst en 6'er i 10 forsøg.

    $$P(X\leq 1)=48{,}45\%$$

  2. En matematiklærer spiller 5 spil Overwatch. Sandsynligheden for at der er en på hans hold som vælger f****** Mei er 15%. Hvor sandsynligt er det at der er højst 2 spil med Mei?

    Sandsynligheden for højst 2 Mei er 97%.

Eksempel 8

📌

Vi kunne også være interesserede i at finde sandsynligheden for at der er mindst en defekt varer (se eks. 4). Det kunne vi gøre ved at sige $$$P(X=1)+P(X=2)+\cdots+P(X=12),$$$ men det ville jo være besværligt. Det er derfor nemmere at kigge på den komplementære hændelse som må være at der er ikke nogle defekte varer. Den sandsynlighed regnede vi ud i eksempel 4, hvor vi fik den til at være: 0,976262. Vi kan derfor udregne: \begin{align}P(\textrm{mindst en defekt vare})&=1-P(\textrm{ingen defekte vare})\\&=1-0{,}976262\\&=0{,}023738\\&=2{,}4\%\end{align}

Øvelse 7

📌
  1. Vi kaster en terning. Bestem sandsynligheden for at få mindst en 6'er i 10 forsøg.

    $$P(X\geq 1)=83{,}84\%$$

  2. Vi kaster en mønt. Bestem sandsynligheden for at få højst 4 gange plat i 5 forsøg.

    $$P(X\leq 4)= 96{,}88\%$$

  3. Vi kigger igen på eleven fra øvelse 5. Hvad er sandsynligheden for at eleven er fraværende i mindst 1 modul?

    Sandsynligheden for at eleven er fraværende i mindst et matematikmodul er 56,95%.