Differentialregning - Beviser

Bevis for differentialkvotienten for en lineær funktion

Vi vil bevise sætningen

Sætning 1

📌

For en lineær funktion $$f(x)=ax+b$$ er differentialkvotienten givet ved $$f'(x)=a$$.

i en øvelse!

Øvelse 1

📌
Brug tretrinsreglen til at bevise ovenstående sætning

Du går til tavlen og viser mig det:-)

Bevis for tangentens ligning

Vi vil nu bevise den sætning der kan bruges til at bestemme tangentens ligning. Fremgangsmåden er magen til den vi brugte til at finde tangentens ligning inden sætningen blev introduceret.

Første skridt

Vi starter med at opskrive sætningen

Sætning 2

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion. Da er tangenten gennem punktet $$(x_0,f(x_0))$$ givet ved ligningen: $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$$

Næste skridt

Bevis

Tangenten er en linje med ligningen $$y=ax+b$$. Vi skal bestemme $$a$$ og $$b$$.

Næste skridt

Vi starter med $$a$$. Vi husker at man kan bruge differentialkvotienten til at finde hældningen. Så tangentens hældning $$a$$ i punktet $$(x_0,f(x_0))$$ er givet ved $$f'(x_0)$$.

Næste skridt

Vi vil nu bestemme $$b$$. Det gør vi ved at indsætte i ligningen $$y=ax+b$$. Vi ved at $$a=f'(x_0)$$ så det kan vi sætte ind: $$$y=f'(x_0)x+b.$$$

Næste skridt

Vi ved også at tangenten går igennem $$(x_0,f(x_0))$$ så det punkt skal passe ind i tangentens ligning, når vi udskifter $$x$$ med $$x_0$$ og $$y$$ med $$f(x_0)$$:

$$$f(x_0)=f'(x_0)x_0+b.$$$

Næste skridt

Vi isolerer $$b$$

$$$b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$$$

Næste skridt

Nu har vi både $$$a=f'(x_0)$$$ og $$$b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$$$ som vi sætter ind i ligningen $$y=ax+b$$: $$$y=f'(x_0)x+f(x_0)-f'(x_0)x_0.$$$

Næste skridt

Vi bytter rundt på rækkefølgen: $$$y=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+f(x_0),$$$

Sidste skridt

og sætter $$f'(x_0)$$ ud foran en parentes $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$$ og vi er færdige!

Beviser for sætninger hvor grænseværdier er i spil

I beviserne får vi brug for nogle egenskaber for grænseværdier:

Regler for grænseværdier

📌

Antag at grænseværdierne $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$ og $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$ findes og lad $$k$$ være en vilkårlig konstant. Da gælder:

Regel 1: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big(k\cdot f(x)\big)=k\cdot \lim_{x\rightarrow a}f(x)$$$

Regel 2: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)+g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$

Regel 3: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)-g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$

Regel 4: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)\cdot g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$

Beviser for opbyggede funktioner

Vi vil nu bevise nogle af reglerne for differentiation af opbyggede funktioner. Vi bruger selvfølgelig tretrinsreglen.

Bevis for reglen om differentiation af en konstant gange en funktion

Første skridt

Vi starter at med at opskrive den sætning vi gerne vil vise.

Sætning 3

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion og $$k$$ en konstant. Da er $$h(x)=k\cdot f(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.

Næste skridt

Bevis

Vi bruger tretrinsreglen:

Trin 1: Opskriv differenskvotienten:

$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Da $$h(x+\Delta x)=k\cdot f(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=k\cdot f(x)$$ bliver differenskvotienten til:

$$$\frac{k\cdot f(x+\Delta x)-k\cdot f(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi sætter $$k$$ ud foran en parentes: $$$\frac{k( f(x+\Delta x)- f(x))}{\Delta x},$$$

Næste skridt

og flytter $$k$$ ned foran brøken: $$$k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}.$$$

Sidste skridt

Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big).$$$

Da $$f$$ er differentiabel ved vi at grænseværdien $$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)$$ findes så vi kan bruge regel 1 for grænseværdier til at flytte $$k$$ ud foran "lim":

$$$k\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)= k\cdot f'(x),$$$

og $$h$$ er altså differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.

Bevis for reglen om differentiation af en sum af to funktioner

Første skridt

Vi vil gerne bevise at:

Sætning 4

📌

Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)+g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.

Næste skridt

Bevis

Vi bruger tretrinsreglen:

Trin 1: Opskriv differenskvotienten:

$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Da $$h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=f(x)+g(x)$$ bliver differenskvotienten til:

$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-\big(f(x)+g(x)\big)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi ophæver parentesen i tælleren:$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x},$$$

Næste skridt

og ændrer lidt på rækkefølgen: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Vi deler brøken op: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$

Sidste skridt

Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\big).$$$

Vi genkender de to led inde i parenteserne som differenskvotienterne (differens - ikke differential) for $$f$$ og $$g$$. Da vi ved at $$f$$ og $$g$$ er differentiable ved vi, at hvis vi lader $$\Delta x\rightarrow 0$$, så vil de to differenskvotienter have en grænseværdi (nemlig $$f'(x)$$ og $$g'(x)$$), og vi kan derfor bruge Regel 2 til at dele udtrykket op:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x},$$$

hvilket er det samme som $$f'(x)+g'(x)$$.

Vi konkluderer at $$h$$ er differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.

Øvelse 2

📌

Reglen for differens ligner reglen for sum ($$h(x)=f(x)+g(x)$$) og bevises på tilsvarende måde.

Sætning

Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)-g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)-g'(x)$$.

Bevis sætningen

Spørg mig.

A-niveau beviser

Bevis for at differentiable funktioner er kontinuerte

Første skridt

Vi opskriver sætningen

Sætning 5

📌

Alle differentiable funktioner er kontinuerte.

Næste skridt

Vi vil gerne vise at $$f$$ er kontinuert og det vil vi gøre ved at vise at $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x+\Delta x)=f(x)$$$

Næste skridt

Antag at $$f$$ er differentiabel. Dette betyder at $$f$$ har en differentialkvotient $$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Næste skridt

Vi vil nu gøre noget smart. Vi vil gange med nul på begge sider. Normalt er det ikke nogen fantastisk idé at gange igennem med nul, men vil vil gøre det på en snedig måde. På højre side vil vi nemlig skrive nul som $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (\Delta x)$$. Det kan vi selvfølgelig gøre fordi at denne grænseværdi er nul. $$$f'(x)\cdot 0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (\Delta x)$$$

Næste skridt

Venstresiden er bare nul og vi bruger Regel 4 for grænseværdier til at omskrive højresiden: $$$0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \Delta x \big)$$$

Næste skridt

Vi reducerer $$$0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (f(x+\Delta x)-f(x))$$$

Næste skridt

Vi lægger nu $$f(x)$$ til på begge sider. På højresiden vil vi skrive $$f(x)$$ som $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x)$$. Det må vi gøre fordi at $$f(x)$$ ikke indeholder noget $$\Delta x$$ og derfor ikke ændrer sig når $$\Delta x\rightarrow 0$$. $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (f(x+\Delta x)-f(x))+ \lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x)$$$

Næste skridt

Vi bruger Regel 2 for grænseværdier og samler udtrykket til én grænseværdi. $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \big(f(x+\Delta x)-f(x)+ f(x)\big)$$$

Sidste skridt

Vi reducerer $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x+\Delta x)$$$

og ånder lettet op, fordi vi er endt med det udtryk vi gerne ville nå frem til (se skridt nummer 2).

Bevis for regel for differentation af et produkt

Klik her