Kontinuitet (A-niveau)

Vi kender ordet "kontinuitet" fra hverdagen. Her betyder det sammenhæng i en udvikling, process eller lignende. I matematik taler vi om kontinuerte funktioner og her har det (selvfølgelig) en præcis betydning.

Definition 1

📌

Lad $$f$$ være en funktion og $$x_0$$ et tal. Funktionen $$f$$ kaldes kontinuert i $$x_0$$ hvis den opfylder følgende tre krav:

  1. Værdien $$x_0$$ ligger i definitionsmængden for $$f$$.
  2. Grænseværdien $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$$ eksisterer.
  3. Grænseværdien opfylder: $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$$

Er funktionen kontinuert i alle punkter i defintionsmængden siges $$f$$ at være kontinuert.

Vi skal nu se nogle eksempler som gøre det mere klart hvad det vil sige at opfylde de forskellige krav, men lad os først lige se på om vi forstår grænseværdierne i definitionen. Vi er vandt til at kigge på grænseværdier af formen:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Men ligesom man kan tage grænseværdien for $$\Delta x\rightarrow 0$$ kan man også tage grænseværdien for $$x\rightarrow x_0$$.

Eksempel 1

📌

Vi vil finde grænseværdien $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$$ for funktionen $$f(x)=x^2-1$$ og $$x_0=5$$.

Vi kan se at når $$x$$ kommer tæt på $$5$$ så nærmer $$f(x)$$ sig $$5^2-1=24$$ . Derfor er $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 24$$.

Øvelse 1

📌

Bestem grænseværdien $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$$ for

  1. $$f(x)=x+2$$ og $$x_0=4$$

    6

  2. $$f(x)=\sqrt{x}$$ og $$x_0=9$$

    3

  3. $$f(x)=\frac{x}{x-1}$$ og $$x_0=1$$

    Den findes ikke!

Øvelse 2

📌

Betragt funktionen $$f$$ med grafen:

Graf

Bestem grænseværdien $$\lim_{x\rightarrow -1} f(x)$$

1

Vi skal nu se på nogle eksempler hvor de forskellige krav i Definition 1 kommer i spil.

Eksempel 2

📌

Betragt funktionen $$f$$ med grafen:

Graf

Funktionen er ikke kontinuert i $$x_0=1$$, da den ikke opfylder det første krav i Definition 1. Den er nemlig ikke er defineret i $$x_0=1$$ (vi kan se der er et hul i grafen).

Selvom funktion ikke er kontinuert i $$x_0=1$$ er der faktisk tale om en kontinuert funktion. Det er fordi den er kontinuert i alle punkter i dens definitionsmænge ($$x_0=1$$ ligger ikke i definitionsmængden)

Eksempel 3

📌

Betragt funktionen $$f$$ med grafen:

Graf

Funktionen er ikke kontinuert i $$x_0=1$$, da den ikke opfylder det andet krav i Definition 1. Den er godt nok defineret i $$x_0=1$$, men grænseværdien når man kommer fra venstre er 1, mens grænseværdien er 2 når vi kommer fra højre. Da grænseværdien skal være ens fra både venstre og højre, betyder det at grænseværdien $$f$$ ikke eksisterer.

Funktionen er kontinuert i resten af dens definitionsmængde.

Eksempel 4

📌

Betragt funktionen $$f$$ med grafen:

Graf

Funktionen er ikke kontinuert i $$x_0=1$$. Funktionen opfylder godt nok både krav 1 og krav 2 i $$x_0=1$$, da den både er defineret og har en grænseværdi (som er 1), men den opfylder ikke det tredje krav. Vi kan nemlig se at $$$f(x_0)=2$$$ mens $$$\lim_{x\rightarrow x_0} f=1$$$ Alså er funktionsværdi og grænseværdi forskellig og funktionen opfylder derfor ikke krav 3.

Funktionen er kontinuert i resten af dens definitionsmængde.

Eksempel 5

📌

Betragt funktionen $$f$$ med grafen:

Graf

Denne funktion er kontinuert, da den er kontinuert i alle punkter i dens definitionsmængde.

Øvelse 3

📌

Bestem for følgende funktioner om de er:

  1. Kontinuerte i $$x_0=3$$.
  2. Kontinuerte.

Du kan f.eks. tegne i Geogebra.

  1. $$f(x)=2x-2$$

    Kontinuert i $$x_0=3$$ og kontinuert.

  2. $$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

    Ikke kontinuert i $$x_0=3$$, men kontinuert.

  3. $$f(x) =\begin{cases}2x-1, & \text{for } x<3 \\-x+5, & \text{for } x\geq 3\end{cases}$$

    Ikke kontinuert i $$x_0=3$$ og ikke kontinuert.

  4. $$f(x) =\begin{cases}x^2, & \text{for } x<3 \\-x+12, & \text{for } x\geq 3\end{cases}$$

    Kontinuert i $$x_0=3$$ og kontinuert.

Kontinuerte funktioner i praksis

Når vi skal tjekke om en funktion er kontinuert er det ofte kun det 3. krav i Definition 1 vi tjekker. For hvis vi kan vise at krav 3 er opfyldt, vil de to andre krav automatisk være opfyldte - grænseværdien skal jo eksistere for at kunne give $$f(x_0)$$ og funktionens skal være defineret i $$x_0$$ før vi overhovedet kan regne $$f(x_0)$$. Vi vil dog som regel tjekke krav 3. på en anden form:

Alternativ formulering af krav 3

📌

Krav 3 i Definition 1 kan også formuleres som: $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$$$

Øvelse 4

📌
Forklar hvorfor den alternative formulering af krav 3 er korrekt.

De udtrykker begge samme egenskab: Når $$x$$-værdien kommer tæt på $$x_0$$ kommer den tilhørende funktionsværdi tæt på $$f(x_0)$$.

Selvom kontinuitet er et vigtigt begreb, er det ikke noget vi vil beskæftige os meget med på MATHHX. Begrebet kommer i spil i beviser for visse sætninger. Særligt er følgende sætning vigtig:

Sætning 1

📌

Alle differentiable funktioner er kontinuerte.