Følsomhedsanalyse

BEMÆRK!!! Dette afsnit hører til Mat-A kernestof

Introduktion

En følsomhedsanalyse er en undersøgelse man laver for en lineær funktion i to variable $$f(x,y)=ax+by+c$$ som er underlagt nogle begrænsninger. I følsomhedsanalysen undersøger man hvor stor en ændring der skal være i $$a$$ eller $$b$$ før man får et nyt maksimumspunkt eller minimumspunkt. Dette er nemmest at forstå ved et praktisk eksempel. Vi vender derfor tilbage til vores eksempel med bukser og jakker. Problemstillingen var:

En tøjproducent producerer bukser og jakker.

Producenten har $$750 m^2$$ bomuld og $$1000 m^2$$ polyester.

Til et par bukser skal bruges $$1 m^2$$ bomuld og $$2 m^2$$ polyester, og til en jakke skal der bruges $$1{,}5m^2$$ bomuld og $$1 m^2$$ polyester.

Dækningsbidraget er $$500 kr.$$ pr. par bukser og $$400 kr.$$ pr. jakke.

Følgende øvelse fungerer som repetition, hvis det er et stykke tid siden du sidst har kigget på lineær programmering. Kommer du direkte fra foregående afsnit kan du springe den over.

Øvelse 1

📌
Bestem hvor mange bukser og jakker der skal produceres for at opnå det maksimale samlede dækningsbidrag. Du skal regne den uden at bruge Geogebra (som vist i afsnittet "Uden computer").

Producenten skal altså producerer 375 bukser og 250 jakker, for at få det største dækningsbidrag.

Vi har fundet ud af (jvf. Øvelse 1 eller foregående afsnit) at det største dækningsbidrag findes ved en produktion på 375 bukser og 250 jakker. Dette er illustreret her:

Polygonområde

Det mørkeblå område er polygonområdet, den grønne linje er N(287500), og $$B=(375,250)$$ er det punkt hvor vi finder det største dækningsbidrag.

Men hvad nu hvis dækningsbidraget for bukser eller jakker ændrer sig? Lad os sige at det ændrer sig til 200 kr. pr. par bukser. Så ser N(287500) således ud:

Polygonområde

Vi kan se at niveaulinjen ikke længere har noget til fælles med polygonområdet. Rykker vi niveauet ned kan vi se at det maksimale dækningsbidrag ikke længere er i punkt B. Det vil nu ligge i punkt A:

Polygonområde

Altså er dækningsbidraget for bukser blevet så lavt at det nu bedst kan betale sig at producerer jakker alene. Men hvor stor en ændring i dækningsbidrag for bukser eller jakker skal der mon til før at en produktion på 375 bukser og 250 jakker ikke længere er optimal? En undersøgelse af dette kaldes en følsomhedsanalyse fordi man finder ud af hvor "følsom" det optimale punkt er overfor ændringer i konstanterne i kriteriefunktionen. Har man en virksomhed som producerer vare, vil et nyt optimalt punkt betyde en omlægning af produktionen, så hvis små ændringer i kriteriefunktionen (f.eks. afsætningspriser) betyder at produktionen skal omlægges siger vi at virksomheden er relativt følsom overfor ændringer. Omvendt siger vi at virksomheden er relativt ufølsom overfor ændringer, hvis der skal ske store ændringer i kriteriefunktion før vi skal omlægge produktionen.

Øvelse 2

📌

Med udgangspunkt i det eksemplet med bukser og jakker skal du finde ud af hvor meget dækningsbidraget for bukser kan variere sig før den optimale produktion ikke længere er 375 bukser og 250 jakker.

  1. Åben Geogebra og tast begrænsnignerne ind så du får dit polygområde.

    Polygonområde

  2. Tegn niveaulinjen N(287500)

    Polygonområde

  3. I ligningen for N(287500) bytter du 287500 ud med et "t" og 500 ud med et "s". Sig ja til at oprette skydere og i indstillingerne for skyderne ændrer du intervallet til 0-500000 for t og 0-1000 for s. Ved at trække i skyderne skal du finde ud af hvor meget dækningsbidraget for bukser kan variere før vi får et nyt maksimumspunkt.

    Vi ser at dækningsbidraget mindst skal være ca. 267 kr og højst ca. 797 kr hvis vi vil beholde $$(375,250)$$ som maksimumspunkt. Polygonområde Polygonområde

Eksakt metode

Metoden fra Øvelse 2 er selvfølgelig utilfredsstillende. Vi får et upræcist resultat og det er bare ikke sjovt at regne opgaver ved at trække i skydere i Geogebra. Men øvelsen giver os et godt udgangspunkt for at forstå hvordan vi ved beregning kan foretage en følsomhedsanalyse. Vi vil nu undersøge det samme som i Øvelse 2 men uden Geogebra.

Vi har kriteriefunktionen $$f(x,y)=500x + 400y$$ og da vi gerne vil undersøge hvor meget dækningsbidraget for bukser må ændre sig, så skriver vi bare $$a$$ i stedet for 500, da dækningsbidraget for bukser (500 kr. pr. par) nu er ubekendt. Vi får altså kriteriefunktionen $$f(x,y)=ax+400y$$.

Vi kigger på polygonområdet

Polygonområde

og vi ser at så længe niveaulinjerne har en hældning som ligger mellem hældningerne for de to skrå begrænsningslinjer vil maksimumspunktet forblive i $$B$$. Bliver niveaulinjerne fladere end den fladeste begrænsningslinje flytter maksimum op til punktet $$A$$ og bliver niveaulinjerne stejlere end den stejleste begrænsningslinje flyttes maksimum til C.

Vi ved fra afsnittet "Uden computer" at nivealinjerne for funktionen $$f(x,y)=ax+by+c$$ har forskriften $$$y=-\frac{a}{b}x+\frac{t-c}{b}$$$ Så niveaulinjerne har en hældning på $$-\frac{a}{b}$$. Vores niveaulinjer har altså hældningen $$-\frac{a}{400}$$. Denne hældning skal som skrevet være imellem hældningerne for de to skrå begrænsningslinjer. Vi husker (se afsnittet "Uden computer") at linjerne har ligningerne $$$y= -\frac{2}{3}x+500 \quad \textrm{og} \quad y= -2x+1000$$$ Så hvis hældningen for niveaulinjerne skal ligge mellem hældningerne for de to skrå begrænsningslinjer, skal følgende dobbeltulighed være opfyldt $$$-2 \leq -\frac{a}{400} \leq -\frac{2}{3}$$$

Man løser en dobbelt ulighed ved at løse den som to uligheder:

$$$-2 \leq -\frac{a}{400} \quad \textrm{og} \quad -\frac{a}{400} \leq -\frac{2}{3}$$$

Vi løser første ulighed:

$$$-2 \leq -\frac{a}{400}$$$

Vi gange med 400 på begge sider:

$$$-2 \cdot 400 \leq -\frac{a}{400}\cdot 400$$$

og reducerer

$$$-800 \leq -a$$$

Vi ganger med $$-1$$ og husker at vende ulighedstegnet

$$$800 \geq a$$$

Vi har altså at dækningsbidraget for bukser højst må være 800 kr. pr. stk, hvis det skal stadig skal være optimalt at producerer 375 bukser og 250 jakker. Så mit facit til Øvelse 2 var ikke helt præcist (der fik jeg 797).

Øvelse 3

📌
Løs den anden ulighed og bestem derved hvor stort dækningsbidraget for bukser mindst skal være, hvis det optimale punkt (375,250) skal bevares.

Dækningsbidraget for bukser må ikke være mindre end 266,67 kr. pr stk.

Vi har nu gennemført vores følsomhedsanalyse og fundet ud at dækningsbidraget kan variere fra 266,67 kr. pr. stk til 800 kr. pr. stk. hvis en produktion på 375 bukser og 250 jakker skal være optimal.

Ligesom vi kan lave følsomhedsanalyse for koefficienten $$a$$ i $$f(x,y)=ax+by+c$$, kan vi også lave følsomhedsanalyse for koefficienten $$b$$. Metoden er helt tilsvarende den for $$a$$, bortset fra at det nu er $$b$$, som er den ubekendte.

Øvelse 4

📌

Vi antager nu at dækningsbidraget for bukser er konstant på 500 kr. pr. stk, mens at dækningsbidraget for jakker ændrer sig.

  1. Hvor meget må dækningsbidraget for jakker stige før produktionen på 375 bukser og 250 jakker ikke længere er optimal?

    750

  2. Hvor meget må dækningsbidraget for jakker falde før produktionen på 375 bukser og 250 jakker ikke længere er optimal?

    250

Flere end to begrænsningslinjer

Forklaringerne ovenover tager udgangspunkt i "de to begrænsningslinjer", men hvad hvis der er flere begrænsningslinjer? Betragt polygonområdet:

Polygonområde

Hvis man har forstået logikken i metoden, så er det oplagt at det er de to begrænsningslinjer som går gennem maksimums/minimums-punktet man skal have fat i. Altså hvis kriteriefunktionen $$f(x,y)=ax+by+c$$ har maksimum i f.eks. punktet $$B$$, så er det altså linje $$l2$$ og $$l3$$ man skal bruge.

Øvelse 5

📌

Vi kigger nærmere på polygonområdet

Polygonområde

Antag at kriteriefunktionen er givet ved $$f(x,y)=3x+2y$$ og punkterne har koordinaterne $$A=(0,4)$$, $$B=(3,4)$$, $$C=(5,2)$$, $$D=(6,0)$$.

  1. Bestem det maksimumspunktet og maksimumsværdien for $$f$$ indenfor polygonområdet.

    Maksimumspunktet er $$(5,2)$$ og maksimumsværdien er $$19$$.

  2. Bestem en ligning for de 5 begrænsningslinjer.

    $$11$$: $$x=0$$
    $$12$$: $$y=4$$
    $$13$$: $$y=-x+7$$
    $$14$$: $$y=-2x+12$$
    $$15$$: $$y=0$$

  3. Bestem hvor stor en ændring i koefficienten til $$x$$ (i forskriften for $$f$$) der skal til før vi får et nyt maksimumspunkt

    Koefficienten til $$x$$ skal under 2 eller over 4 for at få et nyt maksimumspunkt.

  4. Bestem hvor stor en ændring i koefficienten til $$y$$ (i forskriften for $$f$$) der skal til før vi får et nyt maksimumspunkt

    Koefficienten til $$y$$ skal unde 1,5 eller over 3 for at få et nyt maksimumspunkt.

Minimeringsproblemer

Minimeringsproblemer løses på helt tilsvarende måde som maksimeringsproblemer. Her er udgangspunktet selvfølgelig bare minimumspunktet og de to begrænsningslinjer igennem minimumspunktet.

Øvelse 6

📌

Et polyonområde er defineret ved følgende uligheder

$$y \geq -4x+8$$
$$y \geq -2x+6$$
$$y \geq -\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}$$
$$x \geq 0$$
$$y \geq 0$$

  1. Tegn polygonområdet

    Polygonområde

  2. Lad nu $$f(x,y)=x+2y$$. Bestem mindsteværdien for $$f$$ indenfor polygonområdet, og bestem i hvilket punkt denne værdi findes.

    Mindsteværdien er 5 og punktet er $$(5,0)$$

  3. Bestem hvor meget koefficienten til $$x$$ (i forskriften for $$f$$) kan ændre sig hvis minimumspunktet skal fastholdes.

    Koefficienten til $$x$$ kan variere fra 0 til $$\frac{4}{3}$$

  4. Bestem hvor meget koefficienten til $$y$$ (i forskriften for $$f$$) kan ændre sig hvis minimumspunktet skal fastholdes.

    Koefficienten til $$y$$ skal være større end eller lig med $$\frac{3}{2}$$