Niveaulinjer

Vil man tegne et kort der viser højdeforskelle kan man bruge funktioner i to variable. Her har man brug for to koordinater til at vise hvor man er på kortet og en koordinat til at vise højden. Vi laver et kort ved at tegne funktionens niveaukurver. Nedenunder ses et kort som viser højdeforskellene et eller andet sted (i Tyskland måske? hmm Chris siger det er i Østrig). Vi kan se at højderne er markeret med forskellig farve. Kurverne der adskiller farverne er niveaukurverne, og går man rundt langs en niveaukurve, går man altså i samme højde.

Kort

Helt præcist:

Definition 1

📌

Ved niveaukurven $$N(t)$$ (udtales "n t") for en funktion $$f(x,y)$$ forstås kurven givet ved ligningen $$$f(x,y)=t.$$$

Når man har en lineær funktion i to variable, bliver niveaukurverne til lineære funktioner og kaldes niveaulinjer (der kommer et bevis for dette senere). Ud fra definition 1 kan vi se, at niveaulinjen $$N(t)$$ består af alle de punkter der giver funktionsværdien $$t$$.

Eksempel 1

📌

I dette eksempel vil vi tegne en niveaulinje for funktionen $$f(x,y)=x+y$$.

Lad os prøve at tegne $$N(10)$$. Niveaulinjen $$N(t)$$ består altså af alle de punkter som giver 10 når vi sætter dem ind i funktionen $$f(x,y)=x+y$$. Vi kan tegne den i Geogebra ved at skrive $$x+y=10$$:

Graf

Vi aflæser et punkt på linjen for at se om det virkelig passer at det giver $$10$$, hvis man sætter det ind i $$f(x,y)$$. Vi aflæser et tilfældigt punkt på linjen $$(4,6)$$ og regner $$f(4,6)=4+6=10$$. Jahh det passede.

Øvelse 1

📌
Aflæs et til punkt på grafen ovenover og tjek at det giver $$10$$ når du sætter det ind i $$f(x,y)$$.

Der er flere muligheder...

Øvelse 2

📌
Uden at tegne skal du undersøge om punktet $$(11,23)$$ ligger på niveaulinjen $$N(40)$$ for funktionen $$f(x,y)=6x-y$$.

Det ligger ikke på niveaulinjen.

Øvelse 3

📌

Vi vender tilbage til eksemplet fra indledningen:

En tøjproducent producerer og afsætter bukser og jakker.

Producenten har $$750 m^2$$ bomuld og $$1000 m^2$$ polyester.

Til et par bukser skal bruges $$1 m^2$$ bomuld og $$2 m^2$$ polyester, og til en jakke skal der bruges $$1{,}5m^2$$ bomuld og $$1 m^2$$ polyester.

Dækningsbidraget er $$500 kr.$$ pr. par bukser og $$400 kr.$$ pr. jakke.

Lad $$x$$ betegne antal bukser og $$y$$ er antal jakker.

  1. Opskriv kriteriefunktion for dækningsbidraget.

    $$f(x,y)=500x+400y$$

  2. Opstil som i eksempel 1 en ligning for niveaulinjen $$N(10.000)$$.

    $$500x+400y=10.000$$

  3. Tegn $$N(10.000)$$ i Geogebra.

    Graf

Man kan trække i niveaulinjerne i Geogebra. Trækker vi i $$N(10)$$ for funktionen $$f(x,y)=x+y$$, kan vi se at niveauerne vokser når vi trækker linjen skråt op til højre:

Graf

Øvelse 4

📌

Lad $$f(x,y)=x-2y$$.

Tegn niveaulinjen $$N(26)$$ og lav en pil der viser i hvilken retning niveauerne vokser.

Graf

Øvelse 5 (meget svær)

📌
Forklar hvorfor niveaukurver for lineære funktioner i to variable bliver lineære.

Vi snakker om det i klassen.