Polygonområder og optimering

Vi vender tilbage til tøjproducenten der producerede bukser og jakker. Han vil jo gerne have det størst mulige dækningsbidrag, men hans problem er at han er begrænset af hans lager af bomuld og polyester. Vi illustrerer disse begrænsninger i polygonområdet. Polygonområdet afgrænser de kombinationer af bukser og jakker det er muligt at producerer med de mængder stof producenten har til rådighed.

For at tegne polygonområdet har vi brug for at omskrive begrænsningerne til uligheder. Vi repeterer fra indledningen af kapitlet:

Producenten har $$750 m^2$$ bomuld og $$1000 m^2$$ polyester.

Til et par bukser skal bruges $$1 m^2$$ bomuld og $$2 m^2$$ polyester og til en jakke skal der bruges $$1{,}5m^2$$ bomuld og $$1 m^2$$ polyester.

Ud fra dette kan vi opstille følgende skema:

Bukser ($$x$$) Jakker ($$y$$) Maks
Bomuld 1 1,5 750
Polyester 2 1 1000

Ud fra skemaet kan vi opstille følgende uligheder:

$$1x+1{,}5y\leq 750\quad$$ og $$\quad 2x+1y\leq 1000$$.

Udover dette er det oplagt at vi selvfølgelig ikke kan producere et negativt antal varer, så:

$$x\geq 0$$ og $$y\geq 0$$

Disse uligheder taster vi ind i Geogebra og zoomer ud (husk at sætte punktum i stedet for komma i Geogebra):

Graf

Ulighedstegnene har jeg lavet ved at trykke på det lille alfa:

Graf

Polygonområdet er altid det mørkeste område (jeg har skraveret det med en flot rød farve).

Hvert punkt i polygonområdet angiver en kombination af bukser og jakker som producenten har mulighed for at producere. Punkterne uden for området repræsenterer umulige kombinationer - enten fordi der ikke er nok stof, eller fordi negative antal ikke er mulige.

Øvelse 1

📌

Betragt ulighederne: $$$x+y\geq 5$$$

$$$x+2y\geq 7$$$

$$$x\geq 0$$$

$$$y\geq 0$$$

Tegn polygonområdet

Graf

Tilbage til tøjproducenten. Vi mangler nu bare at finde det optimale punkt i polygonområdet. Vi indtegner derfor en niveaulinje for kriteriefunktionen. Vi husker at forskriften var $$f(x,y)=500x+400y$$, og vi vælger at tegne $$N(0)$$. Vi skriver altså $$500x+400y=0$$ ind i Geogebra:

Graf

Den sorte linje er niveaulinjen. Vi trækker nu i linjen i den retning der giver større dækningsbidrag. Vi trækker den indtil den kun har 1 punkt til fælles med polygonområdet:

Graf

Vi kan nu se, at det største dækningsbidrag er i det øverste højre hjørne af polygonområdet (markeret med en rød cirkel). Havde vi trukket linjen mere ville den ikke længere have nogle punkter til fælles polygonområdet og ville derfor ikke være interesant for vores producent.

Nu skal vi finde koordinaterne til skæringspunktet. Da vi har tegnet begrænsningerne ind som uligheder, kan vi desværre ikke bruge skæringsværktøjet i Geogebra. Men vi kan lave lille trick. Ved at ændre ulighedstegnene til lighedstegn, kan vi lave ulighederne om til ligninger, og vi kan bruge skæringsværktøjet.

Graf

Jeg har slukket for de nu unødvendige begrænsninger og niveaulinjen. Vi kan se at skræringspunktet er $$(375,250)$$. Vi konkluderer:

Ved en produktion på 375 bukser og 250 jakker opnås det størst mulige dækningsbidrag.

Vi kan udregne udregne det optimale dækningsbidrag ved at sætte det optimale punkt ind i kriteriefunktionen: $$$f(375,250)=500\cdot 375+400\cdot 250=287500.$$$

Det størst mulige dækningsbidrag er 287.500 kr.