Hændelser

Nogle gange er man interesseret i mere end et udfald:

Definition 1

📌

En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet. Altså er en hændelse en samling af udfald.

Som nedenstående eksempel viser vil vi nogle gange opskrive hændelsen som det der karakteriserer den, i stedet for de udfald den består af:

Eksempel 1

📌

Hvis vi kaster en terning, er følgende eksempler på hændelser:

  • $$A=\{5,6\}$$.
  • $$B=\textrm{"et lige antal øjne"}$$

Sandsynligheden for en hændelse

Sandsynligheden for en hændelse findes ved at lægge sandsynlighederne sammen for de enkelte udfald. Altså hvis vi har en hændelse $$A=\{u_1,u_2,u_3\}$$, så er $$P(A)=P(u_1)+P(u_2)+P(u_3)$$.

Eksempel 2

📌

Hvis vi kaster en terning og kigger på hændelsen "lige antal øjne", så er $$$P(\textrm{"lige antal øjne"})=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$$

Øvelse 1

📌
Bestem vha. metoden i eksempel 2 sandsynligheden for at slå 1 eller 2 med en terning.

$$P(\{1,2\})=P(1)+P(2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Øvelse 2

📌
Bestem ved hjælp af metoden i eksempel 2 sandsynligheden for at få et hjerter billedkort, hvis man trækker et kort fra et almindeligt kortspil.

\begin{align} &P(\{\textrm{hjerter knægt},\textrm{hjerter dame},\textrm{hjerter konge}\})\\=&P(\textrm{hjerter knægt})+P(\textrm{hjerter dame})+P(\textrm{hjerter konge})\\=&\frac{1}{52}+\frac{1}{52}+\frac{1}{52}=\frac{3}{52}\end{align}

Disjunkte hændelser

Nogle gange er vi interesserede i mere end en enkelt hændelse. Det kunne være at man trak et kort fra et kortspil og ville have et kort der enten er "en spar" eller "en hjerter". Skal man regne sandsynligheden for dette er det afgørende om hændelserne "overlapper" hinanden.

Definition 2

📌

To hændelser kaldes disjunkte, hvis de ikke har nogle udfald tilfælles.

Eksempel 3

📌

Vi kaster en terning. Hændelserne $$A={6}$$ og $$B=\textrm{"et ulige antal øjne"}$$ er disjunkte, da de to hændelser ikke har nogle udfald til fælles.

Øvelse 3

📌

Afgør, hvilke af følgende par af hændelser som er disjunkte:

  1. Vi kaster med en terning. $$A=6$$ og $$B=\textrm{"Et lige antal øjne"}$$.

    Ikke disjunkte

  2. Vi kaster to terninger. Hændelse $$A$$ er "summen af antal øjne er større end 4". Hændelse $$B$$ er "den første terning er en 1'er".

    Ikke disjunkte

  3. Vi trækker et kort fra et almindeligt spil kort. Hændelse $$A$$ er "en spar" og hændelse $$B$$ er "et billedkort".

    Ikke disjunkte. Haha

Vi har en sætning vi kan bruge til at beregne sandsynligheder for disjunkte hændelser:

Sætning 1

📌

Lad der være givet to disjunkte hændelser $$A$$ og $$B$$. Da er sandsynligheden for at enten den ene indtræffer eller den anden indtræffer givet ved $$P(A)+P(B).$$

Vi illustrerer sætningen med et eksempel:

Eksempel 4

📌

Sandsynligheden for at få enten $$A={6}$$ eller $$B=\textrm{et ulige antal øjne}$$ er $$$P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$$ da der er tale om to disjunkte hændelser.

Øvelse 4

📌

Bestem som i eksempel 2 sandsynligheden for at få en af hændelserne i følgende par af hændelser.

  1. $$A=\{1,2\}$$ og $$B=\{5,6\}$$.

    Sandsynligheden er $$\frac{2}{3}$$.

  2. $$A=\{1,3\}$$ og $$B=\textrm{"lige antal øjne"}$$.

    Sandsynligheden er $$\frac{5}{6}$$.

Komplementære hændelser

Komplementere hændelser er hændelser som er hinandens modsætninger. Altså:

Definition 3

📌

Lad $$A$$ og $$B$$ være to hændelser. Hændelsen $$A$$ kaldes komplementær til hændelsen $$B$$, hvis $$A$$ indeholder allle de udfald som ikke er i $$B$$.

Ud fra definition 3 er det klart at hvis $$A$$ er komplementær til $$B$$ så er $$B$$ også komplementær til $$A$$.

Eksempel 5

📌

Ved kast med en terning er hændelserne "en 6'er" og "ikke en 6'er" komplementære.

Øvelse 5

📌

Bestem, hvilke af følgende par af hændelser som er komplementære

  1. Vi kaster en terning $$A=\textrm{"et lige antal øjne"}$$ og $$B=\textrm{"et ulige antal øjne"}$$.

    Komplementære

  2. Vi kaster en mønt $$A=\textrm{"plat eller krone"}$$ og $$B=\textrm{"krone"}$$

    Ikke komplementære

  3. Vi kaster to terninger $$A=\textrm{"Vi får to 5'ere eller to 6'ere"}$$ og $$B=\textrm{"summen er større end 11"}$$.

    Ikke komplementære

Sætning 2

📌

Lad der være givet to komplementære hændelser $$A$$ og $$B$$. Da kan sandsynligheden for hændelsen $$A$$ udregenes med formlen $$$P(A)=1-P(B).$$$

Eksempel 6

📌

Ved kast med en terning er sandsynligheden for $$A=\textrm{"ikke en 6'er"}$$ givet ved $$P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$, da $$P(6)=\frac{1}{6}$$ og $$A$$ er dem komplementere hændelse til hændelsen "en 6'er".

Øvelse 6

📌

En elev udtænker et snedigt spil således at eleven har 58% chance for at vinde penge fra sin dansklærer. Hvad er risikoen for eleven taber?

  1. Vi kigger på hændelsen: "Eleven vinder". Hvad er den komplementære hændelse?

    Den komplementære hændelse er "eleven taber"

  2. Hvad er sandsynligheden for den komplementære hændelse?

    42%

  3. Hvad er sandsynligheden for at eleven taber

    42%

Uafhængige hændelser

Forstil dig at du er på kasino og spiller roulette. Forstil dig at den bliver sort 10 gange i træk. Så må chancen for den bliver rød næste gang vel være stor eller hvad? Nej sandsynligheden for rød er den samme uanset, hvad den tidligere er landet på fordi de enkelte runder er "uafhængige".

Definition 4

📌

To hændelser kaldes uafhængige, hvis indtræffelse af den ene ikke påvirker sandsynligheden for den anden.

Eksempel 7

📌

Hvis vi slår med to terninger er følgende hændelser uafhængige:

A = "den første terning bliver en 6'er"
B = "den anden terning bliver 6'er"

Årsagen til de er uafhængige er, at den ene ternings resultat ikke har betydning for den andens.

Eksempel 8

📌

Hvis vi slår med to terninger er følgende hændelser ikke uafhængige:

A = "den første terning bliver en 6'er og den anden bliver et lige antal øjne"
B = "den anden terning bliver en 6'er"

Årsagen til de ikke er uafhængige er at den første hændelse "ændrer på" sandsynligheden for den anden. Hvis vi allerede ved at den anden terning bliver et lige antal øjne er der jo større sandsynlighed for det også er en 6'er.

Sætning 3

📌

Sandsynligheden for at to uafhængige hændelser $$A$$ og $$B$$ begge indtræffer er giver ved $$P(A)\cdot P(B)$$

Eksempel 9

📌

Vi bestemmer sandsynligheden for at udfaldene i eksempel 1 sker på en gang. Sandsynligheden for den første terning bliver 6 er 1/6 og sandsynligheden for den anden terning bliver 6 er en 1/6. Altså kan vi bestemme sandsynligheden for at de begge bliver 6 ved $$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=1/36$$.

Øvelse 7

📌

Afgør hvilke af følgende hændelser som er uafhængige

  1. "Man kaster en mønt og en terning. A="krone" og B="en 6'er".

    Uafhængige

  2. "FCK taber til Brøndby" og "Brønbys yngste spiller scorer".

    IKKE uafhængige... hvorfor?

Øvelse 8

📌

Antag vi kaster en mønt og en terning på en gang.

Bestem sandsynligheden for at man får krone og en 6'er.

Sandsynligheden for at få både krone og en 6'er er $$\frac{1}{12}$$