Definitions og værdimængde

Definitionsmængden og værdimængden beskriver hvilke $$x$$ og $$y$$-værdier der er relevante for en givet funktion.

Definition 1

📌

Definitionsmængden for en funktion $$f$$ er mængden af mulige $$x$$’er.

Værdimængden er mængden af mulige $$y$$’er.

Definitionsmængden betegner vi med Dm($$f$$) og værdimængden med Vm($$f$$).

Vi skal nu se nærmere på hvordan definitionen skal forstås...

Grafisk fortolking

Grafisk er definitionsmængden grafens udstrækning langs $$x$$-aksen og værdimængden grafens udstrækning langs $$y$$-aksen:

Grafisk fortolkning

Eksempel 1

📌

Nedenunder ses grafen for funktionen $$f(x)=\sqrt{x}$$.

Graf

Vi kan se at grafens udstrækning langs $$x$$-aksen går fra 0 til ∞ (den stopper ikke). Tilsvarende går grafens udstrækning langs $$y$$-aksen fra $$0$$ til $$\infty$$.

Læg mærke til at vi har afsluttet grafen med en "massiv bolle" inde ved $$(0,0)$$. Det betyder at grafen stopper i $$(0,0)$$ og at punktet $$(0,0)$$ er en del af grafen.

Altså Dm($$f$$)$$=[0;∞[$$ og Vm($$f$$)=$$[0;∞[$$.

Eksempel 2

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.

Graf

Læg mærke til de to endepunkter. Den massive betyder at punktet er en del af grafen, mens den ikke-massive bolle betyder at det pågældende punkt ikke er en del af grafen.

Vi aflæser derfor Dm($$f$$)$$=[-1;2[$$ og Vm($$f$$)$$=[-2{,}5;2[$$.

Øvelse 1

📌

Bestem definitions og værdimængden for følgende funktioner:

Funktionen $$f$$:

$$\textrm{Dm}(f)=[0;1[$$ og $$\textrm{Vm}(f)=[-2;2[$$.

Graf

Funktionen $$g$$:

$$\textrm{Dm}(g)=]-\infty;3[$$ og $$\textrm{Vm}(g)=]-\infty;2{,}5[$$.

Graf

Funktionen $$h$$:

$$\textrm{Dm}(h)=]-2;3]$$ og $$\textrm{Vm}(h)=[-8;1]$$.

Graf

Funktionen $$i$$:

$$\textrm{Dm}(i)=]-3;4[$$ og $$\textrm{Vm}(i)={1}$$ (mængden bestående af tallet 1).

Graf

Definitionsmængde og forskrift

Det er usikkert at aflæse på en graf og derfor er den grafiske fortolkning ikke tilstrækkelig. Heldigvis er det nemt at finde definitionsmængden ud fra forskriften.

Vi husker at definitionsmængden er de mulige $$x$$'er, så vi skal bare se om der er noget $$x$$ ikke må være.

Eksempel 3

📌
  1. Definitionsmængden for funktionen $$f(x)=\frac{1}{x}$$ er er alle tal undtagen $$0$$, fordi sætter man $$0$$ ind på $$x$$'ets plads vil der nemlig komme til at stå nul i nævneren og man kan jo ikke dividere med nul. Man skriver $$\textrm{Dm}(f)= \mathbb{R}\setminus\{0\}$$ (vi husker at $$\mathbb{R}$$ betyder alle tal).
  2. Definitionsmængden for funktionen $$f(x)=\frac{1}{x+1}$$ er alle tal undtagen $$-1$$, fordi sætter man $$-1$$ ind på $$x$$'ets plads vil der nemlig komme til at stå nul i nævneren og man kan jo ikke dividere med nul. Man skriver $$\textrm{Vm}(f)= \mathbb{R}\setminus\{-1\}$$
  3. Definitionsmængden for funktionen $$f(x)=\sqrt{x}$$ er alle ikke-negative tal, da man kan tage kvadratroden af alle tal undtagen negative tal. Vi skriver Dm($$f$$)$$=[0;∞[$$.

Øvelse 2 (lidt svær)

📌

Bestem definitionsmængden for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=\frac{1}{3}x$$

    $$\textrm{Dm}(f)= \mathbb{R}$$

  2. $$f(x)=\frac{2}{x}+1$$

    $$\textrm{Dm}(f)= \mathbb{R}\setminus\{0\}$$

  3. $$f(x)=\sqrt{x+1}$$

    $$\textrm{Dm}(f)=[-1;\infty[$$

  4. $$f(x)=\sqrt{2x+6}$$

    $$\textrm{Dm}(f)=[-3;\infty[$$

Restringerede funktioner

Funktionen $$f(x)=2x$$ har $$\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}$$ (alle tal), da man kan gange alle tal med 2. Men hvad nu hvis vi havde en virksomhed, og vi kunne beskrive overskudet ved salg af $$x$$ kilo varer med funktionen $$f(x)=2x$$. Så ville det pludselig ikke give mening at definitionsmængden var $$\mathbb{R}$$, for kan en vægt være negativ? Nej i det tilfælde ville definitionsmængden være intervallet $$[0;\infty[$$, og vi ville skrive funktionsforskriften på følgende måde: $$$g(x)=2x,\quad x\geq 0.$$$ Vi siger at $$g$$ er fremkommet ved at restringere $$f$$.

Øvelse 3

📌

En elev fra Niels Brock løber en tur. Hun løber 200m pr. minut.

Lad $$f$$ være den funktioner der beskriver længden af løbeturen hvor $$x$$ er antal minutter og $$f(x)$$ er antal meter hun løber.

Opskriv en forskrift for $$f$$

$$f(x)=200x, \quad x\geq 0$$