Hvad er funktioner?

En funktion er sammenknytning af to mængder. Det skal forstås på den mådet at vi til hvert element i den første mængde knytter netop ét element i den anden. På HHX vil mængderne som regel bestå af tal.

Funktion

Diagrammet ovenover viser en funktion som til hvert tal knytter det dobbelte tal. Til 1 knytter vi $$2$$, til $$2$$ knytter vi $$4$$ osv. Vi kalder tallene i den første mængde for $$x$$’er (dvs. $$1,2,3$$ osv.) og tallene i den anden mængde er y’er (dvs. $$2,4,6$$ osv.).

Øvelse 1

📌

I denne øvelse tager udgangspunkt i den funktion som er ovenover

  1. Hvilkelt tal knytter funktionen til tallet 5?

    Funktionen knytter 10 til 5.

  2. Hvis $$x=4$$, hvad er så $$y$$?

    $$y=8$$

  3. Hvis $$y=20$$, hvad var så $$x$$?

    $$x=10$$

Vi beskriver ofte funktioner vha. en forskrift. Tager vi den før omtalte funktion kan vi beskrive den med forskriften $$f(x)=2x$$. Her er $$f$$ funktions navn, og $$2x$$ betyder at vi skal gange hvert $$x$$ med $$2$$ for at få den tilhørende y-værdi som vi kalder funktionsværdien $$f(x)$$. Vi skriver at $$f(1)=2$$, $$f(2)=4$$ osv. Udtrykket $$f(x)$$ udtales ”f af x” og tilsvarende udtales f.eks. $$f(2)$$ ”f af 2”.

Funktion

Øvelse 2

📌
Bestem $$f(7)$$ og $$f(9)$$ for før omtalte funktion.

$$f(7)=14$$ og $$f(9)=18$$.

Når vi skal opskrive en funktion vil vi normalt ikke lave et diagram, vi vil bare angive forskriften. Skriver vi f.eks. $$f(x)=3x+1$$ betyder det at vi til hver x-værdi skal knytte det tal vi får ved at gange med $$3$$ og lægge $$1$$ til. Så altså er f.eks. $$f(5)=3⋅5+1=16$$ og vi kan på den måde udregne funktionsværdier for alle tal vi kan finde på at sætte ind i stedet for $$x$$.

Øvelse 3

📌

Betragt funktion $$g(x)=2x-1$$.

  1. Bestem funktionsværdien der hører til $$x$$-værdien $$3$$.

    Funktionsværdien er $$5$$.

  2. Bestem $$g(6)$$, $$g(0)$$ og $$g(-1)$$.

    $$g(6)=11$$, $$g(x)=-1$$ og g(-1)=-3

  3. Ved at prøve dig frem, skal du finde den $$x$$-værdi som giver funktionsværdien $$7$$.

    $$x=4$$

Øvelse 4

📌
Bestem forskriften for funktionen illustreret ved følgende diagram:

$$f(x)=4x$$

Funktion

Øvelse 5

📌
Bestem forskriften for funktionen illustreret ved følgende diagram:

$$g(x)=x+1$$

Funktion

Øvelse 6 (svær)

📌

Når vi har en funktion kalder vi $$x$$ for den uafhængige variabel og $$y$$ for den afhængige variabel.

Forklar, hvorfor det er giver god mening.

Når vi har en funktion knytter vi til hvert $$x$$ et $$y$$. Derfor giver det god mening at sige at $$y$$ afhænger af $$x$$ som så selv er uafhængig. Man kunne indvende at $$x$$ også afhænger af $$y$$ da man ofte kan regne baglæns fra $$y$$, men det ville være forkert at tænke på funktioner på den måde. De går i én retning, $$x$$'er bliver til $$y'er$$.

Eksempel 1

📌

En konstant funktion er funktion som ikke afhænger af $$x$$. Den kunne f.eks. have forskriften $$$f(x)=3.$$$ Her kan vi se der ikke optræder noget $$x$$ i (højresiden af) forskriften og funktionsværdierne er derfor altid $$3$$ uanset hvad $$x$$ er. F.eks. er $$f(5)=3$$.

Øvelse 7

📌
Bestem $$f(7)$$ og $$f(0)$$ for funktionen $$f(x)=2$$.

$$f(7)=2$$ og $$f(0)=2$$.