Hovedregning

Større regnestykker vil vi altid regne på computer eller lommeregner. Men det er nødvendigt at kunne lidt hovedregning for at kunne bruge computer og lommeregner effektivt.

Plus, minus, gange og dividere

Man skal gange og dividere inden man lægger til og trækker fra.

Eksempel 1

📌

$$$2-3\cdot 5=2-15= -13$$$

Øvelse 1

📌

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  1. $$4+5\cdot 2$$

    $$4+5\cdot 2=4+10=14$$

  2. $$7-2+3\cdot 2-5$$

    $$7-2+3\cdot 2-5=7-2+6-5=6$$

  3. $$4-\frac{6}{3}+2$$

    $$4-\frac{6}{3}+2=4-2+2=4$$

I udtryk med brøker regnes først tæller og nævner, så divideres - og så resten.

Eksempel 2

📌

$$$\frac{10-2}{4-2}\cdot 2=\frac{8}{2}\cdot 2=4\cdot 2= 8$$$

Øvelse 2

📌

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  1. $$3\cdot\frac{10-2}{6-4}+2$$

    $$3\cdot\frac{10-2}{6-4}+2=3\frac{8}{2}+2=3\cdot 4+2=12+2=14$$

  2. $$\frac{8}{8-4}+7$$

    $$\frac{8}{8-4}+7=\frac{8}{4}+7=2+7=9$$

  3. $$2+\frac{3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3$$

    $$2+\frac{3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3=2+\frac{20}{4}-2\cdot 3=2+5-6=1$$

Nogle simple divisionstykker kan være forvirrende.

Eksempel 3

📌
  1. $$\frac{3}{3} = 1$$

  2. $$\frac{0}{5} = 0$$

  3. $$\frac{5}{0}= \textrm{INGENTING}$$. Man kan ikke dele med 0.

Øvelse 3

📌

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  1. $$\frac{7}{7}$$

    1

  2. $$\frac{0}{89}$$

    0

  3. $$\frac{6}{0}$$

    INGENTING. Man kan ikke dele med 0.

  4. $$\frac{27}{9}$$

    3

  5. $$\frac{10}{10}$$

    1

Fortegn (Plus og minus)

Ganger eller dividerer man to ens fortegn får man plus. To forskelige giver minus.

Eksempel 4

📌
  1. $$2\cdot6=12$$

  2. $$-2\cdot6=-12$$

  3. $$2 \cdot(-6)=-12$$

  4. $$-2\cdot(-6)=12$$

Læg mærke til at $$-6$$ står i parentes i de to nederste.
Det er fordi det er forbudt at skrive ”$$\cdot-$$". Så $$-4\cdot(-3)=12$$.

...men hvad så med $$-4-3$$? Giver det mon så også plus? Der er jo to minustegn?… svaret er NEEEEEEEEEEEEEEEEJJJJ. Vi regner $$-4-3=-7$$. Så det er kun ved gange eller division at to ens giver plus.

Øvelse 4

📌

Beregn uden brug af computer/lommeregner:

  1. $$-3\cdot2$$

    $$-3\cdot2=-6$$

  2. $$7\cdot(-2)$$

    $$7\cdot(-2)=-14$$

  3. $$-3\cdot(-5)$$

    $$-3\cdot(-5)=15$$

  4. $$\frac{6}{-3}$$

    $$\frac{6}{-3}=-2$$

  5. $$-4\cdot2\cdot(-2)$$

    $$-4\cdot2\cdot(-2)=16$$

  6. $$\frac{-4}{-2}$$

    $$\frac{-4}{-2}=2$$

  7. $$\frac{-4}{2}-3$$

    $$\frac{-4}{2}-3=-2-3=-5$$

  8. $$-2\cdot\frac{-4}{-1}$$

    $$-2\cdot\frac{-4}{-1}=-2\cdot 4=-8$$

  9. $$\frac{-1\cdot(-6)}{3}\cdot(-2)$$

    $$\frac{-1\cdot(-6)}{3}\cdot(-2)=\frac{6}{3}\cdot(-2)=2\cdot(-2)=-4$$

  10. $$\frac{-5}{0}$$

    $$\frac{-5}{0}=\textrm{INGENTING}$$. Man kan ikke dele med 0.

Potenser

Vi får brug for at regne med potenser. En potens er tal som f.eks. $$3^2$$ (3 i anden) eller $$5^3$$ (5 i tredje) og vi husker, at $$3^2$$ regnes ved at sige $$3^2=3\cdot3=9$$ og $$5^3=5\cdot5\cdot5=125$$. Man regner potenser før man ganger, dividerer, lægger sammen og trækker fra.

Eksempel 5

📌

$$$2^4+6^1=16+6=22$$$

Øvelse 5

📌

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  1. $$4^2$$

    $$4^2=16$$

  2. $$2^3$$

    $$2^3=8$$

  3. $$3^1$$

    $$3^1=3$$

  4. $$2\cdot5^2+5$$

    $$2\cdot5^2+5=2\cdot 25+5=55$$

Rødder

Rødder er det modsatte af potenser. I kender sikkert kvadratroden fra folkeskolen. Man bruger kvadratroden hvis man har et tal der er sat i anden og gerne vil finde det oprindelige tal. F.eks. er $$\sqrt{16}=4$$ fordi $$4^2=16$$. Godt nok er $$(-4)^2$$ også $$16$$, men kvadratroden er altid det positive tal. Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal.

Øvelse 6

📌

Regn uden at bruge lommeregner:

  1. $$\sqrt{9}$$

    3

  2. $$\sqrt{4}$$

    2

  3. $$\sqrt{1}$$

    1

  4. $$\sqrt{100}$$

    10

  5. $$\sqrt{0}$$

    0

Øvelse 7

📌
Hvorfor kan man ikke tage kvadratroden af et negativt tal?

Spørg mig.

Der findes andre rødder end kvadratrødder. Har man et tal der er sat i tredje og vil man gerne finde det oprindelige tal, kan man tage den tredje rod. F.eks. får vi den trejde rod af 8 til at være 2 fordi $$2\cdot 2\cdot 2=8$$ og vi skriver $$\sqrt[3]{8}=2$$. Da kvadratroden ophæver "i anden" kan vi skrive f.eks. $$\sqrt{9}$$ som $$\sqrt[2]{9}$$.

Øvelse 8

📌

Bestem følgende rødder:

  1. $$\sqrt[2]{25}$$

    5

  2. $$\sqrt[3]{0}$$

    0

  3. $$\sqrt[3]{27}$$

    3

  4. $$\sqrt[4]{16}$$

    2

  5. $$\sqrt[100]{1}$$

    1

Det er kun for nogle få tal at man kan regne rødder i hovedet. Det er svært at regne f.eks. $$\sqrt{5}$$ uden en lommeregner.

Øvelse 9

📌
Hvordan udtales $$\sqrt[5]{7}$$?

"Den femte rod af 7".

Regningsarternes hierarki

Vi har allerede set, at man skal gange og dividere før man lægger til og trækker fra. Men hvad med potenser og rødder? Man skal udføre de forskellige operationer i følgende rækkefølge:

  1. Parenteser og tæller og nævner i brøker
  2. Potenser og rødder
  3. Gange og dividere
  4. Plus og minus

Eksempel 6

📌

$$$2\cdot 3^2-5\cdot 2=2\cdot 9-5\cdot 2=18-10=8$$$

Øvelse 10

📌

Beregn uden brug af lommeregner:

  1. $$3^2$$

    9

  2. $$-3^2$$

    -9

  3. $$(-3)^2$$

    9

  4. $$2\cdot (5-3)^3-\sqrt{4}$$

    14

  5. $$\frac{(4-5)^2}{2}-1$$

    $$-\frac{1}{2}$$