Intervaller

Intervaller vil vi støde på hele tiden. Et interval er karakteriseret ved to endepunkter, og består af alle de tal som ligger mellem de to endepunkter. De to endepunkter kan være med i intervallet. Nedenunder ses to definitioner af intervaller. I matematik betyder "definition" at give et begreb en præcis betydning. Så når vi definerer et interval, giver vi altså begrebet "interval" en betydning.

Definition 1

📌

For to tal $$a$$ og $$b$$, hvor $$a<b$$, består det lukkede interval $$[a;b]$$ af alle tallene mellem $$a$$ og $$b$$ inklusiv $$a$$ og $$b$$ ($$a$$ og $$b$$ er med i intervallet).

Definitioner kan godt virke lidt tekniske når man læser dem, så derfor er det ofte først når man ser eksempler, man forstår definitionerne.

Eksempel 1

📌

Intervallet $$[1;4]$$ består af alle tal fra og med 1, til og med 4.

Øvelse 1

📌
Opskriv det lukkede interval fra og med $$-2$$, til og med $$5$$.

$$[-2;5]$$

Definition 2

📌

For to tal $$a$$ og $$b$$, hvor $$a<b$$, består det åbne interval $$]a;b[$$ af alle tallene mellem $$a$$ og $$b$$ eksklusiv $$a$$ og $$b$$ ($$a$$ og $$b$$ er ikke med i intervallet).

Eksempel 2

📌

Intervallet $$]-2;5[$$ består af alle tal fra -2 til 5, men hverken -2 eller 5 er med i intervallet.

Øvelse 2

📌
Opskriv det åbne interval bestående af tallene mellem 7 og 7,5.

$$]7;7{,}5[$$

Man kan også lave halvåbne intervaller. Dem får du lov til at bokse med i næste øvelse.

Øvelse 3 (svær)

📌
Overvej hvad man kunne mene med et halvåbent interval, og opskriv to passende definitioner

Definition
For to tal $$a$$ og $$b$$, hvor $$a<b$$ består det halvåbne interval $$[a;b[$$ af alle tallene mellem $$a$$ og $$b$$ hvor $$a$$ er med og $$b$$ ikke er med.

Definition
For to tal $$a$$ og $$b$$, hvor $$a<b$$ består det halvåbne interval $$]a;b]$$ af alle tallene mellem $$a$$ og $$b$$ hvor $$a$$ ikke er med og $$b$$ er med.

VINK: bliv inspireret af definition 1 og definition 2.

Eksempel 3

📌

Intervallet $$[3;5[$$ består af alle tal mellem 3 og 5, inklusiv 3, men uden 5. Det er et halvåbent interval fordi det indeholder det ene af sine endepunkter, men ikke det andet.

Øvelse 4

📌

Opskriv følgende intervaller

  1. Intervallet fra 1 til 3, hvor hverken 1 eller 3 er med. Er det åbent, lukket eller halvåbent?

    ]1;3[ og det er åbent.

  2. Intervallet fra 5 til 9, hvor de begge er med. Er det åbent, lukket eller halvåbent?

    [5;9] og det er lukket.

  3. Intervallet fra 2 til 7, hvor 2 er med, men 7 ikke er med. Er det åbent, lukket eller halvåbent?

    [2;7[ og det er halvåbent.

Vil man skrive at et tal ligger i en mængde, kan man bruge "tilhører"-tegnet "$$\in$$".

Eksempel 4

📌

Der gælder at $$3\in [1;3]$$ fordi 3 ligger i intervallet $$[1;3]$$

Øvelse 5

📌
  1. Er det rigtigt at $$2\in ]2;4]$$?

    Nope

  2. Er det rigtigt at $$-5\in [-9;-5]$$?

    Jes

Intervaller med "uendelig"

Man kan have intervaller der er uendeligt lange. Vi betegner "uendelig" med symbolet $$\infty$$. "Uendelig" er ikke selv et tal, men det kan bruges som endepunkt i et interval.

Eksempel 5

📌

Intervallet $$]3;\infty[$$ består af alle tal større end 3. Læg mærke til at intervallet er åbent i den ende der indeholder "uendelig". Det er fordi "uendligt" ikke er et tal og derfor kan det ikke ligge i intervallet.

Man kan også have intervaller med "minus uendelig". "Minus uendelig" betegnes med "$$-\infty$$" (meget overraskende).

Eksempel 6

📌

Intervallet $$]-\infty;7]$$ består af alle tal mindre end eller lig med 7. Igen bemærker vi at intervallet er halvåbent, da "minus uendelig" ikke er et tal og derfor ikke kan ligge i intervallet.

Intervallet $$]-\infty;\infty[$$ består af alle tal på tallinjen, hvilket også kaldes de reelle tal. I stedet for $$]-\infty;\infty[$$ kan man skrive $$\mathbb{R}$$.

Øvelse 6

📌

Opskriv følgende intervaller:

  1. Intervallet fra og med -3 til og med 7.

    $$[-3;7]$$.

  2. Intervallet bestående af alle tal større end -2.

    $$]-2;\infty[$$.

  3. Intervallet bestående af alle tal mindre end eller lig med 5.

    $$]-\infty;5]$$.

Man kan "slå mængder sammen" med tegnet $$\cup$$ ("foreningsmænde"). F.eks. består mængden $$[2;4]\cup [8;\infty[$$ af alle tal som endten ligger mellem 2 og 4 (2 og 4 inklusiv), eller er større end eller lig med 8.

Øvelse 7

📌
Opskriv mængden bestående af alle tal som er enten større end $$3$$ eller mindre end $$0$$.

$$]-\infty;0[\cup]3;\infty[$$