Ligninger

Ligningsløsning

At løse en ligning betyder at finde den ubekendte der som regel er $$x$$. Altså man skal finde det tal man skal sætte ind i ligningen, i stedet for den ubekendte, så ligningen er sand. Nogle gange kan man se løsningen bare ved at kigge på ligningen.

Eksempel 1

📌

Ligningen $$2\cdot x=10$$ har løsningen $$x=5$$. Det kan vi se fordi $$2\cdot 5=10$$. Altså sætter man $$5$$ i ind i stedet for $$x$$, passer ligningen.

Ligesom ved reduktion vil vi fremover undlade gangetegnet imellem tallet og x'et. Vi vil f.eks. skrive $$2x$$ i stedet for $$2\cdot x$$.

Øvelse 1

📌

Løs ligningerne:

  1. $$x+2=3$$

    $$x=1$$

  2. $$4=1+x$$

    $$x=3$$

  3. $$7x=14$$

    $$x=2$$

Det er ikke altid at man nemt kan se løsningen. Så må man løse ligningen ved at omforme den. Reglerne for ligningsløsning bør være kendt fra folkeskolen. Læs nedenstående eksempel. Hvis du er i tvivl om hvad der sker så spørg mig!

Eksempel 2

📌

\begin{align}2x+6-4x &=-x-2\\-2x+6&= -x-2\\-2x&= -x-2-6\\-2x &=-x-8\\-2x+x&=-8\\-x &=-8\\x&=8\end{align}

Øvelse 2

📌

Løs ligningerne:

  1. $$2(x+1)=12$$

    $$x=5$$

  2. $$2-x=10$$

    $$x=-8$$

  3. $$(x-2)\cdot 3=5x$$

    $$x=-3$$

Det er nemmere at tjekke en løsning end at finde den

Har man et bud på en løsning til ligning, er det nemt at tjekke om den er rigtig. Hvis man f.eks. vil tjekke om $$x=7$$ er en løsning til en ligning, sætter man bare $$7$$ ind på $$x$$'ets plads og ser om ligningen stemmer.

Øvelse 3

📌

Undersøg om $$x=2$$ er en løsning til følgende ligninger:

  1. $$-(x-1)(x+3)=x^3-13$$

    $$x=2$$ er en løsning.

  2. $$x+6=\frac{x^2+12}{x+4}$$

    $$x=2$$ er ikke en løsning.

Ikke alle ligninger har løsninger

Eksempel 3

📌

Ligningen $$x=x+1$$ har ingen løsninger, da den kan omformes til $$0=1$$ og det er jo noget værre vrøvl. Man skriver så $$L=\emptyset$$. Bogstavet $$\emptyset$$ betyder den tomme mængde og $$L$$ står for løsningsmængden.

Øvelse 4

📌

Løs ligningerne

  1. $$x+5=7$$

    $$x=2$$

  2. $$-(x+2)=10$$

    $$x=-12$$

  3. $$x+(3+x)=-4$$

    $$x=-3{,}5$$

  4. $$x+4=x+2\cdot 3$$

    $$L=\emptyset$$

  5. $$2-(2-x)=10x$$

    $$x=0$$

Øvelse 5 (svær)

📌
Forklar hvorfor de regler du bruger til at omforme ligninger er gyldige. Altså hvorfor må man lægge det samme tal til på begge side af lighedstegnet osv.?

Spørg mig.