Differentialkvotienten - forståelse

Vi er er nu klar til at afsløre hvad en differentialkvotient er. Vi starter med en definition som er god som introduktion til differentialkvotienter, men er også er lidt problematisk.

Definition 1 (Problematisk)

📌

Differentialkvotienten for en funktion $$f(x)$$ er den funktion der til ethvert $$x$$ knytter hældningen på tangenten i punktet $$(x,f(x))$$.

Differentialkvotienten betegner vi med $$f'(x)$$ (læses "f mærke af x").

Differentialkvotienten $$f'(x)$$ kaldes også den afledte funktion.

Øvelse 1 (svær)

📌

I definition 1 står der noget med $$(x,f(x))$$. Det betyder bare "det punkt på grafen med førstekoordinat $$x$$".

Forklar, hvorfor det er rigtigt.

Når et punkt ligger på grafen betyder det jo at $$y$$-koordination findes ved at sætte $$x$$-koordinaten ind i funktionen. Altså $$y=f(x)$$, så punktet bliver $$(x,y)=(x,f(x))$$.

Eksempel 1

📌

Vi kigger på grafen for en funktion:

Graf

Vi vil gerne finde $$f'(3)$$, så vi kigger i Definition 1. Der står at $$f'(3)$$ er tangentens hældning i punktet $$(3,f(3))$$, så vi tegner en tangent i dette punkt:

Graf

Vi kan nu aflæse tangentens hældning til at være $$-2$$, så $$f'(3)=-2$$

Øvelse 2

📌

Nedenunder er grafen fra eksempel 1. Der er indtegnet nogle flere tangenter.

Graf

Bestem $$f'(4)$$ og $$f'(5)$$.

$$f'(4)=0$$ og $$f'(5)=2$$

Øvelse 3

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion.

Graf

Kom med dit bedste bud på $$f'(0)$$ og $$f'(1)$$ (det er meget svært at gøre præcist).

$$f'(0)=-1$$, $$f'(1)=2$$

Man kan tegne tangenter i Geogebra med kommandoen:

"Tangent[<x-værdi>,<Funktion> ]"

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=2x^2-3x$$. Vi vil gerne finde $$f'(2)$$, så vi tegner først $$f(x)$$ i Geogebra og derefter skriver vi:

Graf

hvor vi indsætter $$2$$ og $$f$$:

Graf

og Geogebra tegner så tangenten og giver os ligningen for tangenten. Vi kan se at hældningen er $$5$$:

Graf

Altså er $$f'(2)=5$$.

Øvelse 4

📌
Bestem $$f'(1)$$ og $$f'(3)$$ for funktionen $$f(x)=2x^2-3x$$ (den fra eksempel 2).

$$f'(1)=1$$ og $$f'(3)=9$$

Eksempel 3

📌

Indtil videre har vi kun fundet enkelte funktionsværdier for differentialkvotienten. Altså vi har fundet $$f'(1)$$, $$f'(2)$$ osv. for forskellige funktioner. Men hvad med $$f'(x)$$? Vi vil nu prøve at finde $$f'(x)$$ for funktionen $$f(x)=x^2$$. Vi vil gøre det ved at bestemme en masse funktionsværdier og så se om vi kan se et system i mellem $$x$$ og så funktionsværdien $$f(x)$$.

Vi starter med at tegne funktionen $$f(x)=x^2$$ i Geogebra og derefter begynder vi at indtegne tangenter. Den første tegner vi med $$x$$-værdi -2 og vi kan se at $$f'(-2)=-4$$:

Geogebra

På samme måde indtegner vi tangenter til $$x$$-værdierne $$-1,0,1,2$$ og vi finder ud af at:

$$f'(-2)=-4$$ $$f'(-1)=-2$$ $$f'(0)=0$$ $$f'(1)=2$$ $$f'(2)=4$$

Ved at kigge på funktionsværdierne kan vi nu se, at hver funktionsværdi er det dobbelte af den tilhørende $$x$$-værdi. F.eks. er 4 det dobbelte af 2 i $$f'(2)=4$$. Så vi leder efter forskriften for en funktion der til hvert $$x$$ knytter det dobbelte af $$x$$. Den må hedde $$f'(x)=2x$$.

Øvelse 5

📌
Med samme metode som eksempel 3 skal du finde forskrifen for $$f'(x)$$ når $$f(x)=0{,}5x^2$$ (husk at skrive punktum i stedet for komma i Geogebra).

$$f'(x)=x$$

Eksempel 4

📌

Vi vil gerne finde $$f'(5)$$ for funktionen $$f(x)=x^2$$.

I eksempel 3 fandt vi ud af at når $$f(x)=x^2$$ så er $$f'(x)=2x$$.

Vi kan nu sætte ind $$$f'(5)=2\cdot 5=10.$$$ Så når $$x=5$$ så har funktionen en tangent med hældning $$10$$.

Øvelse 6

📌
  1. Læs eksempel 4

    ...

  2. Bestem $$f'(-4)$$ for $$f(x)=x^2$$

    $$f'(-4)=2\cdot (-4)=-8$$

  3. I øvelse 5 fandt du $$f'(x)$$ for $$f(x)=0{,}5x^2$$. Hvad var den?

    $$f'(x)=x$$

  4. Bestem $$f'(4)$$ for $$f(x)=0{,}5x^2$$

    $$f'(-4) = -4$$

Øvelse 7

📌

Riza og Dario diskuterer matematik. Det går op for dem, at ingen af dem har forstået hvad en differentialkvotient er, selvom de har regnet alle øvelserne i dette afsnit. De forstår ikke forskellen på $$f(x)$$ og $$f'(x)$$.

Forklar forskellen til Riza og Dario.

$$f(x)$$ er en funktion der til hvert $$x$$ knytter en $$y$$-værdi $$f(x)$$.

$$f'(x)$$ er den funktion der angiver hældningen på tangenten til $$f(x)$$ i punktet $$(x,f(x))$$.

Resten af dette afsnit er svært. Du får derfor brug for tålmodighed. Læs eksemplet flere gange og spørg om hjælp til det du ikke forstår.

Eksempel 5

📌

En glemsom elev har tegnet en funktion $$f(x)$$ og dens differentialkvotient $$f'(x)$$. Han kan bare ikke lige huske hvilken en der er $$f'(x)$$. Graferne ser således ud:

Grafer

Vi prøver først at se om det mon kan være den røde der er $$f'(x)$$. I givet fald vil den blå være $$f(x)$$. Vi husker, at $$f'(x)$$ angiver hældningen på tangenten til $$f(x)$$, så vi tegner en tangent til $$f(x)$$:

Grafer

Denne tangent har tydeligvis en hælning på $$-1$$. Altså skal $$f'(1)=-1$$ (da $$x$$-værdien er 1). Men aflæser vi funktionsværdien til $$x=1$$ på den røde funktion, ser det ud til at $$f'(1)=0$$ (det er nulpunkt):

Grafer

Men så må det jo være forkert! Altså må det være den blå der er $$f'(x)$$ og den røde der $$f(x)$$. Vi efterviser det passer ved at tegne en tangent til den røde i stedet for:

Grafer

Denne tangent har en hældning på 1. Så vi skal have $$f'(1)=1$$. Vi aflæser på den blå:

Grafer

Yes det passer. Funktionsværdien er 1!!! Vi tror nu på, at det er den blå der er $$f'(x)$$

Øvelse 8

📌

Grafer

Afgør hvilken funktion der er $$f(x)$$, og hvilken funktion der $$f'(x)$$:

Sort er $$f(x)$$ og rød er $$f'(x)$$

Øvelse 9

📌

Grafer

Afgør hvilken funktion der er $$f(x)$$, og hvilken funktion der $$f'(x)$$:

Blå er $$f(x)$$ og rød er $$f'(x)$$

Øvelse 10

📌

Grafer

Afgør hvilken funktion der er $$f(x)$$, og hvilken funktion der $$f'(x)$$:

Grøn er $$f(x)$$ og sort er $$f'(x)$$