Differentialkvotienter for opbyggede funktioner
Vi har set hvordan man nemt kan slå differentialkvotienter op i tabeller. Vi husker tabellen:
Tabel 1
$$f(x)$$ | $$f'(x)$$ |
---|---|
$$k$$ ($$k$$ er en konstant). | $$0$$ |
$$x$$ | $$1$$ |
$$x^a$$ | $$ax^{a-1}$$ |
$$\sqrt{x}$$ | $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ |
$$\frac{1}{x}$$ | $$-\frac{1}{x^2}$$ |
$$e^x$$ | $$e^x$$ |
$$a^x$$ | $$\textrm{ln}(a)\cdot a^x$$ |
$$\textrm{ln}(x)$$ | $$\frac{1}{x}$$ |
Men hvad gør man hvis funktionen ikke står i tabel 1? Vi skal nu se på hvordan man differentiere funktioner der ikke står i tabel 1, men er opbygget af funktioner fra tabel 1.
Eksempel 1
Vi kigger på funktionen $$h(x)=e^x+5$$.
Vi kan differentiere denne funktion ved først at differentiere $$e^x$$ (giver $$e^x$$) og 5 (giver 0).
Svaret bliver så $$h'(x)=e^x+0=e^x$$.
Det er dog ikke altid det er så nemt.
Eksempel 2
Vi kigger på funktionen $$h(x)=5e^x$$.
Vi prøver samme metode som i eksempel 1. Dvs. vi differentierer $$5$$ som giver $$0$$ og derefter differentierer vi $$e^x$$, hvilket giver $$e^x$$. Vi tror så at svaret giver $$h'(x)= 0 \cdot e^x=0$$. Dette er desværre FORKERT BÅÅÅÅÅÅÅÅTTT.
Næh nej... Det er desværre ikke altid ligetil at differentiere opbyggede funktioner. Heldigvis har vi nogle regler:
Tabel 2
$$h(x)$$ | $$h'(x)$$ |
---|---|
$$k\cdot f(x)$$ ($$k$$ er en konstant) | $$k\cdot f'(x)$$ |
$$f(x)+g(x)$$ | $$f'(x)+g'(x)$$ |
$$f(x)-g(x)$$ | $$f'(x)-g'(x)$$ |
$$f(x)\cdot g(x)$$ | $$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ |
Vi kan nu se hvad der gik galt i eksempel 2. Kigger vi i første række i tabellen kan vi se at når vi har en konstant gange en funktion skal vi IKKE differentiere konstanten, men blot funktionen.
Eksempel 3
Vi vil nu differentiere funktionen fra eksempel 2 på en korrekt måde.
Vi har altså $$h(x)=5e^x$$ og sammenligner vi med tabellen ovenover kan vi se at det svarer til funktionen $$h(x)=k\cdot f(x)$$. Vi har
$$k=5$$
$$f(x)=e^x$$
Da $$f'(x)=e^x$$ bliver differentialkvotienten ifølge tabellen $$$h'(x)=5e^x.$$$
Øvelse 1
Differentier følgende funktioner:
-
$$h(x)=3e^x$$
$$h'(x)=3e^x$$
-
$$h(x)=4x^3$$
$$h'(x)=12x^2$$
-
$$h(x)=-2\cdot 5^x$$
$$h'(x)=-2\cdot \textrm{ln}(5)\cdot 5^x$$
-
$$h(x)=10\cdot\textrm{ln}(x)$$
$$h'(x)=\frac{10}{x}$$
Eksempel 4
Lad $$h(x)=x^3+\textrm{ln}(x)$$.
Vi sammenligner med tabel 2 og ser at vores funktion har formen $$h(x)=f(x)+g(x)$$ hvor:
$$f(x)=x^3$$
$$g(x)=\textrm{ln}(x)$$
Vi differentierer $$f$$ og $$g$$:
$$f'(x)=3x^2$$
$$g'(x)=\frac{1}{x}$$
Ifølge tabellen er $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$ så $$$h'(x)=3x^2+\frac{1}{x}.$$$
Øvelse 2
Differentier følgende funktioner:
-
$$h(x)=x^5+x^4$$
$$h'(x)=5x^4+4x^3$$
-
$$h(x)=e^x+\sqrt{x}$$
$$h'(x)=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
-
$$h(x)=5-7^x$$
$$h'(x)=-\textrm{ln}(7)\cdot 7^x$$
-
$$h(x)=x^{-2}-7x$$
$$h'(x)=-2x^{-3}-7$$
Eksempel 5
Lad $$h(x)=x^4\cdot \textrm{ln}(x)$$.
Vi ser at $$h$$ har form som $$h(x)=f(x)\cdot g(x)$$ med:
$$f(x)=x^4$$
$$g(x)=\textrm{ln}(x)$$.
Vi differentierer $$f$$ og $$g$$:
$$f'(x)=4x^3$$
$$g'(x)=\frac{1}{x}$$
Ifølge tabel 2 er $$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ så derfor får vi $$$h'(x)=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^4\cdot\frac{1}{x}=4x^3\cdot \textrm{ln}(x)+\frac{x^4}{x}=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^3.$$$
Øvelse 3
Bestem den afledte funktion for følgende funktioner:
-
$$h(x)=x^5\cdot e^x$$
$$h'(x)=5x^4\cdot e^x+x^5\cdot e^x$$
-
$$h(x)=\sqrt{x}\cdot 2x$$
$$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2x +2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$$
(det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)
-
$$h(x)=(2x+4)\cdot x^3$$
$$h'(x)=2x^3+(2x+4)\cdot 3x^2=8x^3+12x^2$$
-
$$h(x)=\textrm{ln}(x)\cdot x$$
$$h'(x)=\frac{1}{x}\cdot x+\textrm{ln}(x)=\textrm{ln}(x)+1$$
(det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)
Øvelse 4
Differentier følgende funktioner:
-
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
$$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$
-
$$f(x)=x^2$$
$$f(x)=2x$$
-
$$f(x)=5x^3$$
$$f(x)=15x^2$$
-
$$f(x)=x^4 + e^x$$
$$f(x)=4x^3+e^x$$
-
$$f(x)=x^4\cdot e^x$$
$$f'(x)=4x^3e^x+x^4e^x$$
-
$$f(x)=2x^2-5x+1$$
$$f'(x)=4x-5$$
-
$$f(x)=3x^5-2x^2$$
$$f'(x)=15x^4-4x$$
-
$$f(x)=x^2+\textrm{ln}(x)-2x$$
$$f'(x)=2x+\frac{1}{x}-2$$
-
$$f(x)=\sqrt{x}\cdot x+2^x-x^2$$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x+\sqrt{x}\cdot 1+\textrm{ln}(2)\cdot 2^x-2x=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\textrm{ln}(2)\cdot 2^x-2x$$
-
$$f(x)=-23$$
$$f'(x)=0$$
Øvelse 5 (svær)
Kan I huske de gode gamle dage på første år hvor vi lærte at $$b$$-værdien i et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ er tangentens hældning der hvor polynomiet skærer $$y$$-aksen?
-
Hvilken værdi har $$x$$ i det punkt hvor funktionen skærer $$y$$-aksen?
$$0$$ selvfølgelig
-
Benyt ovenstående svar til at vise at $$b$$ er hældningen på den tangent der ligger der hvor funktionen skærer $$y$$-aksen.
Bare glem det hvis du ikke kunne finde ud af den.