Differentialkvotienter for opbyggede funktioner

Vi har set hvordan man nemt kan slå differentialkvotienter op i tabeller. Vi husker tabellen:

Tabel 1

$$f(x)$$ $$f'(x)$$
$$k$$ ($$k$$ er en konstant). $$0$$
$$x$$ $$1$$
$$x^a$$ $$ax^{a-1}$$
$$\sqrt{x}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\frac{1}{x}$$ $$-\frac{1}{x^2}$$
$$e^x$$ $$e^x$$
$$a^x$$ $$\textrm{ln}(a)\cdot a^x$$
$$\textrm{ln}(x)$$ $$\frac{1}{x}$$

Men hvad gør man hvis funktionen ikke står i tabel 1? Vi skal nu se på hvordan man differentiere funktioner der ikke står i tabel 1, men er opbygget af funktioner fra tabel 1.

Eksempel 1

📌

Vi kigger på funktionen $$h(x)=e^x+5$$.

Vi kan differentiere denne funktion ved først at differentiere $$e^x$$ (giver $$e^x$$) og 5 (giver 0).

Svaret bliver så $$h'(x)=e^x+0=e^x$$.

Det er dog ikke altid det er så nemt.

Eksempel 2

📌

Vi kigger på funktionen $$h(x)=5e^x$$.

Vi prøver samme metode som i eksempel 1. Dvs. vi differentierer $$5$$ som giver $$0$$ og derefter differentierer vi $$e^x$$, hvilket giver $$e^x$$. Vi tror så at svaret giver $$h'(x)= 0 \cdot e^x=0$$. Dette er desværre FORKERT BÅÅÅÅÅÅÅÅTTT.

Næh nej... Det er desværre ikke altid ligetil at differentiere opbyggede funktioner. Heldigvis har vi nogle regler:

Tabel 2

$$h(x)$$ $$h'(x)$$
$$k\cdot f(x)$$ ($$k$$ er en konstant) $$k\cdot f'(x)$$
$$f(x)+g(x)$$ $$f'(x)+g'(x)$$
$$f(x)-g(x)$$ $$f'(x)-g'(x)$$
$$f(x)\cdot g(x)$$ $$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Vi kan nu se hvad der gik galt i eksempel 2. Kigger vi i første række i tabellen kan vi se at når vi har en konstant gange en funktion skal vi IKKE differentiere konstanten, men blot funktionen.

Eksempel 3

📌

Vi vil nu differentiere funktionen fra eksempel 2 på en korrekt måde.

Vi har altså $$h(x)=5e^x$$ og sammenligner vi med tabellen ovenover kan vi se at det svarer til funktionen $$h(x)=k\cdot f(x)$$. Vi har

$$k=5$$
$$f(x)=e^x$$

Da $$f'(x)=e^x$$ bliver differentialkvotienten ifølge tabellen $$$h'(x)=5e^x.$$$

Øvelse 1

📌

Differentier følgende funktioner:

  1. $$h(x)=3e^x$$

    $$h'(x)=3e^x$$

  2. $$h(x)=4x^3$$

    $$h'(x)=12x^2$$

  3. $$h(x)=-2\cdot 5^x$$

    $$h'(x)=-2\cdot \textrm{ln}(5)\cdot 5^x$$

  4. $$h(x)=10\cdot\textrm{ln}(x)$$

    $$h'(x)=\frac{10}{x}$$

Eksempel 4

📌

Lad $$h(x)=x^3+\textrm{ln}(x)$$.

Vi sammenligner med tabel 2 og ser at vores funktion har formen $$h(x)=f(x)+g(x)$$ hvor:

$$f(x)=x^3$$
$$g(x)=\textrm{ln}(x)$$

Vi differentierer $$f$$ og $$g$$:

$$f'(x)=3x^2$$
$$g'(x)=\frac{1}{x}$$

Ifølge tabellen er $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$ så $$$h'(x)=3x^2+\frac{1}{x}.$$$

Øvelse 2

📌

Differentier følgende funktioner:

  1. $$h(x)=x^5+x^4$$

    $$h'(x)=5x^4+4x^3$$

  2. $$h(x)=e^x+\sqrt{x}$$

    $$h'(x)=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

  3. $$h(x)=5-7^x$$

    $$h'(x)=-\textrm{ln}(7)\cdot 7^x$$

  4. $$h(x)=x^{-2}-7x$$

    $$h'(x)=-2x^{-3}-7$$

Eksempel 5

📌

Lad $$h(x)=x^4\cdot \textrm{ln}(x)$$.

Vi ser at $$h$$ har form som $$h(x)=f(x)\cdot g(x)$$ med:

$$f(x)=x^4$$
$$g(x)=\textrm{ln}(x)$$.

Vi differentierer $$f$$ og $$g$$:

$$f'(x)=4x^3$$
$$g'(x)=\frac{1}{x}$$

Ifølge tabel 2 er $$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ så derfor får vi $$$h'(x)=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^4\cdot\frac{1}{x}=4x^3\cdot \textrm{ln}(x)+\frac{x^4}{x}=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^3.$$$

Øvelse 3

📌

Bestem den afledte funktion for følgende funktioner:

  1. $$h(x)=x^5\cdot e^x$$

    $$h'(x)=5x^4\cdot e^x+x^5\cdot e^x$$

  2. $$h(x)=\sqrt{x}\cdot 2x$$

    $$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2x +2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$$

    (det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)

  3. $$h(x)=(2x+4)\cdot x^3$$

    $$h'(x)=2x^3+(2x+4)\cdot 3x^2=8x^3+12x^2$$

  4. $$h(x)=\textrm{ln}(x)\cdot x$$

    $$h'(x)=\frac{1}{x}\cdot x+\textrm{ln}(x)=\textrm{ln}(x)+1$$

    (det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)

Øvelse 4

📌

Differentier følgende funktioner:

  1. $$f(x)=\frac{1}{x}$$

    $$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$

  2. $$f(x)=x^2$$

    $$f(x)=2x$$

  3. $$f(x)=5x^3$$

    $$f(x)=15x^2$$

  4. $$f(x)=x^4 + e^x$$

    $$f(x)=4x^3+e^x$$

  5. $$f(x)=x^4\cdot e^x$$

    $$f'(x)=4x^3e^x+x^4e^x$$

  6. $$f(x)=2x^2-5x+1$$

    $$f'(x)=4x-5$$

  7. $$f(x)=3x^5-2x^2$$

    $$f'(x)=15x^4-4x$$

  8. $$f(x)=x^2+\textrm{ln}(x)-2x$$

    $$f'(x)=2x+\frac{1}{x}-2$$

  9. $$f(x)=\sqrt{x}\cdot x+2^x-x^2$$

    $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x+\sqrt{x}\cdot 1+\textrm{ln}(2)\cdot 2^x-2x=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\textrm{ln}(2)\cdot 2^x-2x$$

  10. $$f(x)=-23$$

    $$f'(x)=0$$

Øvelse 5 (svær)

📌

Kan I huske de gode gamle dage på første år hvor vi lærte at $$b$$-værdien i et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ er tangentens hældning der hvor polynomiet skærer $$y$$-aksen?

  1. Hvilken værdi har $$x$$ i det punkt hvor funktionen skærer $$y$$-aksen?

    $$0$$ selvfølgelig

  2. Benyt ovenstående svar til at vise at $$b$$ er hældningen på den tangent der ligger der hvor funktionen skærer $$y$$-aksen.

    Bare glem det hvis du ikke kunne finde ud af den.