Beviser til funktionsundersøgelse
Kan I huske I de gode gamle dage på førsteår hvor vi lærte at man kan finde toppunktet for et andengradspolynomium ved formlen: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right).$$$
Vi skal nu se et bevis for denne formel. Vi skal bruge differentialregning til beviset, hvilket også er årsagen til det først kommer nu og ikke under polynomier.
Første skridt
Vi vil vise:
Sætning 1
Toppunktet for et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminant $$d$$, kan bestemmes ved følgende formel: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right)$$$
Næste skridt
Bevis
Vi skal finde toppunktet T:
Men det er jo det samme som at finde ekstremum! Det vil vi nu gøre på tilsvarende måde som vi plejer.
Næste skridt
Først finder vi $$f'(x)$$. Vi ved at $$f(x)=ax^2+bx+c$$, så: $$$f'(x)=2ax+b$$$
Næste skridt
Vi sætter $$f'(x)=0$$: $$$2ax+b=0.$$$
Næste skridt
Vi trækker $$b$$ fra på begge sider: $$$2ax=-b,$$$ og dividerer med $$2a$$: $$$x=\frac{-b}{2a}$$$
Vi har hermed fundet ekstremumsstedet som må være førstekoordinaten til toppunktet. Vi kan se den passer med formlen:
Næste skridt
Vi regner nu andenkoordinaten. Det gør vi også på sædvanligvis, dvs. vi indsætter førstekoordinaten i forskriften: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c.$$$
Næste skridt
Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\frac{b^2}{4a^2}+b\frac{-b}{2a}+c.$$$
Næste skridt
Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c.$$$
Næste skridt
Vi forlænger det midterste led med $$2$$ (Vi ganger med $$2$$ i tæller og nævner) og vi forlænger det sidste led med $$4a$$: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}.$$$
Næste skridt
Vi sætter på fælles brøkstreg: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}.$$$
Næste skridt
Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-b^2+4ac}{4a}.$$$
Sidste skridt
Vi genkender nu tælleren som $$-d$$ (vi har jo $$d=b^2-4ac$$, så derfor må $$-d=-b^2+4ac$$): $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-d}{4a}.$$$
og det var jo lige det vi gerne ville nå frem til: