Monotoniforhold ved hjælp af differentialregning

Vi skal nu se hvordan man kan bestemme monotoniforhold ved hjælp af differentialregning.

Vi lægger hårdt ud med en sætning:

Sætning 1

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion defineret på et interval $$[a,b]$$

Hvis $$f'(x)>0$$ for alle $$x\in ]a,b[$$, så er $$f$$ voksende i $$[a,b]$$

Hvis $$f'(x)<0$$ for alle $$x\in ]a,b[$$, så er $$f$$ aftagende i $$[a,b]$$

Hvis $$f'(x)=0$$ for alle $$x\in ]a,b[$$, så er $$f$$ konstant i $$[a,b]$$

Øvelse 1

📌

Sætning 1 fortæller lidt løst sagt at

  • $$f(x)$$ er voksende når $$f'(x)$$ er positiv
  • $$f(x)$$ er aftagende når $$f'(x)$$ er negativ.
  • $$f(x)$$ er konstant når $$f'(x)$$ er nul.
  1. Hvad er det nu $$f'(x)$$ betyder?

    Det er tangentens hældning i $$(x,f(x))$$.

  2. Forklar hvorfor sætning 1 er rigtig. Du skal ikke lave et bevis, men når man ved hvad $$f'(x)$$ betyder, kan man overfladisk argumentere for sætning 1. Det er det du skal gøre.

    At $$f'(x)$$ er positiv betyder at hældningen på tangenten er positiv. Er tangentens hældning positiv kan man ikke forstille sig funktionen som være andet end voksende:

    Tangent

    (Funktionen kan evt. ligge under grafen, eller krumme mere eller mindre, men man kan ikke forstille sig at den kan være f.eks. aftagende samtidig med at den røde linje er tangent).

    Man kan tilsvarende argumenter for de 2 andre påstande i sætningen (aftagende, konstant).

Ved hjælp af sætning 1 kan vi nu bestemme monotoniforhold ved at lave en fortegnsundersøgelse af $$f'(x)$$ (læg mærke til: $$f'$$, ikke $$f$$). Dette er smart, da man så kan bestemme monotoniforhold uden at tegne.

Eksempel 1

📌

Vi vil undersøge monotoniforhold for funktionen $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-8x-10$$. Vi finder først $$f'(x)$$. Vi får $$$f'(x)=3\cdot\frac{1}{3}x^2+2x-8=x^2+2x-8.$$$

Nu laver vi en fortegnsundersøgelse af $$f'(x)=x^2+2x-8$$. Vi starter som vi plejer med at finde nulpunkter. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er et andengradspolynomium, så vi regner diskriminanten først:

$$$d=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36$$$

Vi Insætter nu i nulpunksformlerne og ser at: $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4.$$$

Vi vælger nu nogle $$x$$-værdier, som omgiver nulpunkterne (-5, 0 og 3) og laver et sildeben:

$$x$$ -5 -4 0 2 3
$$f'(x)$$ 7 0 -8 0 7

Af sildebenen kan vi se at:

$$f'(x)$$ er positiv for $$x\in]-\infty;-4[\cup]2;\infty[$$
$$f'(x)$$ er negativ for $$x\in]-4;2[$$.

Ved at benytte sætning 1 kan vi altså konkludere at

$$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-4]$$ og for $$x\in[2;\infty[$$.
$$f$$ er aftagende for $$x\in[-4;2]$$.

Vi tegner nu grafen for at tjekke om det mon passer:

Tangent

Det passer jah.

Øvelse 2

📌

Bestem ved beregning monotoniforholdene for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x^3-6x^2-15x+29$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-1]$$ og for $$x\in[5;\infty[$$.
    $$f$$ er aftagende for for $$x\in[-1;5]$$.

  2. $$f(x)=-5x+2$$

    $$f$$ er aftagende.

  3. $$f(x)=-2x^2-4x-4$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-1]$$
    $$f$$ er aftagende for $$x\in[-1;\infty[$$.

  4. $$f(x)=x^4-4x^3$$ (svær)

    $$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;3]$$
    $$f$$ er voksende for $$x\in]3;\infty[$$

Monotoniforhold for begrænsede funktioner

Til tider kan man komme ud for at der er begrænsninger på definitionsmængden og det skal man være opmærksom på når man laver monotoniintervallerne.

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=x^2-7$$, hvor $$x\in]1;4]$$. Vi vil ved bergning bestemme monotoniforholdene.

Vi finder først $$f'$$: $$$f'(x)=2x$$$

Vi finder så nulpunkter for $$f'(x)$$: \begin{align}f'(x)&=0\\2x&=0\\x&=0.\end{align} Vi kan se at nulpunktet ligger udenfor intervallet hvor $$f$$ er defineret, så nulpunket er slet ikke interessant. Vi skal altså bare undersøge fortegnet for $$f'$$ i et vilkårligt punkt i definitionsmængden. Vi vælger 2: $$$f'(2)=2\cdot 2=4$$$ Vi kan altså konkludere at $$f$$ er voksende. Vi tegner for at tjekke:

Tangent

Det passer, $$f$$ er voksende overalt.

Øvelse 3

📌

Bestem ved beregning monotoniforholdene for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=-2x^3+3x^2+12x+5$$, hvor $$x\in ]0;\infty[$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]0;2]$$
    $$f$$ er aftagende for $$x\in[2;\infty[$$.

  2. $$f(x)=\sqrt{x}$$, hvor $$x\in [1;2[$$.

    $$f$$ er voksende.

  3. $$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x$$, hvor $$x\in]-\infty;3[$$

    $$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;2]$$
    $$f$$ er voksende for $$x\in [2:3[$$