MATHHX A

MATHHX A

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

6.3 Regning med trigonometriske funktioner

De trigonometiske funktioner i Geogebra

Indtil videre har vi bestemt funktionsværdier for de trigonometriske funktioner ved at aflæse i enhedscirklen. Vi kan selvfølgelig finde de præcise værdier i GeoGebra. Det gør vi med kommandoerne

\[\verb | cos(x)|\quad ,\quad \verb |sin(x)|\quad \text {og}\quad \verb |tan(x)|\]

Her skal vi være opmærksom på en ting. Hvis vi skriver cos(5), tror GeoGebra så at \(5\) er i grader eller radianer? Det er et problem man står med uanset hvilket værktøj man bruger. Skriver man i Algebravinduet, så vil GeoGebra gætte om du mener grader eller radianer, mens at CASvinduet vil opfattte vinklen som værende i radianer. Man kan også regne i grader i CAS, men så skal man skrive det ekspicit, f.eks.: cos(5\(\degree \)). Jeg vil anbefale at bruge CAS.

Øvelse 6.3.1

Bestem følgende værdier i Geogebra

  • a) \(\cos (45\degree )\)

  • b) \(\sin (90\degree )\)

  • c) \(\sin (90)\)

  • d) \(\tan (-2)\)

Løsning 6.3.1

  • a) \(\cos (45\degree )=0{,}71\)

  • b) \(\sin (90\degree )=1\)

  • c) \(\sin (90)=0{,}89\)

  • d) \(\tan (-2)=2{,}19\)

Funktionsundersølgelse med trigonometriske funktioner i GeoGebra

I vil møde funktioner hvis forskrift indeholder trigonometriske funktioner. Typisk er I nødt til at anvende GeoGebra for at kunne regne på dem. Her er der ikke noget nyt, men husk at det ikke er polynomier, og derfor vil I være nødt til at bruge de kommandoer som tager udgangspunkt i et interval. Skal man finde nulpunkter f.eks., så kan man ikke bruge kommandoen \(\verb |Rod(Polynomium)|.\) I stedet bruger man

\[\verb |Rødder(Funktion, Start x-Værdi, Slut x-Værdi)|\]

Det kræver så at man har et interval, så det må man håbe at der opgivet i opgaven.

Øvelse 6.3.2

Ved hjælp af GeoGebra skal du lave en funktionsundersøgelse af funktionen

\[f(x)=4\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )+2, \quad x\in [0;20[\]

Dvs. du skal bestemme:

  • a) Definitionsmængde

  • b) Værdimængde

  • c) Nulpunkter

  • d) Fortegnsvariation

  • e) Monotoniforhold

  • f) Ekstrema

  • g) Krumningsforhold (springes over hvis du ikke har lært om krumningsforhold endnu).

  • h) Vendetangenter (springes over hvis du ikke har lært om vendetangenter endnu).

Løsning 6.3.2

  • a) Definitionsmængde: \([0;20[\)

  • b) Værdimængde: \([-2;6]\)

  • c) Nulpunkter: \(x=6{,}76\), \(x=10{,}95\) og \(x=19{,}33\)

  • d) Fortegnsvariation:

    \(f\) er positiv i \(]0;6{,}76[\cup ]10{,}95;19{,}33[\)

    \(f\) er negativ i \(]6{,}76;10{,}95[\)

    \(f\) er nul i \(x=6{,}76,\ x=10{,}95\) og \(x=19{,}33\)]

  • e) Monotoniforhold:

    \(f\) er voksende i \([0;2{,}58]\) og \([8{,}86;15{,}14]\)

    \(f\) er aftagende i \([2{,}58;8{,}86]\) og \([15{,}14;20[\)

  • f) Ekstrema:

    \(f\) har globalt maksimum i \(x=2{,}58\) og \(x=15{,}14\) med maksimumsværdi \(6\).

    \(f\) har lokalt minimum i \(x=0\) med minimumsværdi \(3{,}12\).

    \(f\) har global minimum i i \(8{,}86\) med minimumsværdi \(-2\).

  • g) Krumningsforhold:

    \(f\) er konkav i i \([0;5{,}72]\) og \([12;18{,}28]\)

    \(f\) er konveks i \([5{,}72;12{,}18]\) og \([18{,}28;20[\)

  • h) Vendetangenter:

    \(y=-2x+13{,}43\)

    \(y=2x-22\)

    \(y=-2x+38{,}57\)

Løsning af trigonometriske ligninger

Vi mangler ikke så meget, før vi kan lave ovenstående funktionsundersøgelse i hånden. Det kræver bare lidt viden om hvordan man løser ligninger med trigonometriske funktioner. Så lad os se på nogle eksempler.

  • Eksempel 6.3.1
    Vi vil løse ligningen \(\cos (x)=0{,}6\). Vi skal have fat i den omvendte funktion til cosinus så vi kan komme ind til \(x\)’et. Der er bare et problem. Cosinus har ikke nogen omvendt funktion, fordi der findes flere \(x\)’er til hver cosinusværdi. Men vi kan dog finde et enkelt \(x\) som løser ligningen med funktionen \(\cos ^{-1}(x)\). I GeoGebra hedder den \(\verb |acos(x)|\):

    (image)

    Så \(x=0{,}93\) er en løsning til ligningen. Men der er flere, og for at finde dem, har vi brug for en enhedscirkel:

    (-tikz- diagram)

    Den røde vinkel på tegningen er den som GeoGebra har fundet. Men vi kan se at der er en anden vinkel (den grønne) med samme cosinusværdi. Vi kan se ud af symmetrien at den må være ligeså stor som den røde, men med negativt fortegn. Altså har den værdien \(x=-0{,}93\). Vi har altså i alt to løsninger til ligningen \(\cos (x)=0{,}6\) nemlig.

    \[x=0{,}93\vee x=-0{,}93\]

    MEN, vi er ikke færdige. Der er godt nok ikke flere retningspunkter på cirklen som har en førstekoordinat på \(0{,}6\), men for hver løsning vi har fundet, kan vi finde en ny løsning ved at snurre en hel gang rundt i cirklen (så lander vi jo i samme retningspunkt). Snurre vi en enkelt gang rundt får vi løsningerne

    \[x=0{,}93+2\pi \vee x=-0{,}93 + 2\pi \]

    Men vi kan snurre i begge veje og flere gange rundt, hvilket giver os vores endelige løsninger:

    \[x=0{,}93+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad x=-0{,}93 + p\cdot 2\pi ,\]

    hvor \(p\) er et helt tal.

Øvelse 6.3.3

Betragt ligningen \(\cos (x)=0{,}3\)

  • a) Tegn en enhedscirkel og marker en positiv løsning til ligningen i cirklen.

  • b) Aflæs en omtrentlig værdi for løsningen.

  • c) Tjek din løsning i GeoGebra. Hvad var løsningen med to decimaler?

  • d) Ligningen har en til løsning i intervallet \([-\pi ; 0]\). Marker denne løsning i enhedscirklen og bestem værdien.

  • e) Opskriv samtlige løsninger til ligningen.

Løsning 6.3.3

  • a) Løsningen er længden af det grønne stykke:
    (-tikz- diagram)

  • b) \(x=1{,}3\)

  • c) \(x=1{,}27\)

  • d) Løsningen er længden af det grønne stykke MEN, med negativt fortegn:
    (-tikz- diagram)
    Løsningen er \(x=-1{,}27\)

  • e) \(x=1{,}27+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad x=-1{,}27 + p\cdot 2\pi \)

Øvelse 6.3.4

Betragt ligningen \(\cos (x)=-0{,}4\)

  • a) Tegn en enhedscirkel og marker en positiv løsning til ligningen.

  • b) Aflæs en omtrentlig værdi for løsningen.

  • c) Tjek din løsning i GeoGebra. Hvad var løsningen med to decimaler?

  • d) Ligningen har en til løsning i intervallet \([-\pi ; \pi ]\). Marker denne løsning i enhedscirklen og bestem værdien.

  • e) Opskriv samtlige løsninger til ligningen.

Løsning 6.3.4

  • a) Løsningen er længden af det grønne stykke:
    (-tikz- diagram)

  • b) \(x=2\)

  • c) \(x=1{,}98\)

  • d) Løsningen er længden af det grønne stykke, MEN med negativt fortegn:
    (-tikz- diagram)
    Løsningen er \(x=-1{,}98\)

  • e) \(x=1{,}98+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad x=-1{,}98 + p\cdot 2\pi \)

  • Eksempel 6.3.2
    Vi vil løse ligningen \(\sin (x)=0{,}4\). Vi bruger først GeoGebra:

    (image)

    Så \(x=0{,}41\) er en løsning til ligningen. Vi tegner enhedscirkel

    (-tikz- diagram)

    Den røde vinkel på tegningen er den som GeoGebra har fundet (dvs. den er \(0{,}41\))., men vi kan se at der er en anden vinkel (den grønne) med samme sinusværdi. Denne vinkel får vi ved at sige

    \[\pi - 0{,}41=2{,}73\]

    Det er fordi vi går en halv gang rundt i cirklen (\(\pi \)) og så tilbage et stykke der svarer til den røde vinkel (\(0{,}41\)). Vi husker at sinus også er periodisk med periode \(2\cdot \pi \), så vi får i alt løsningerne.

    \[x=0{,}41+p\cdot 2\pi \vee x=2{,}73 + p\cdot 2\pi ,\]

    hvor \(p\) er et helt tal.

Øvelse 6.3.5

Betragt ligningen \(\sin (x)=0{,}7\)

  • a) Tegn en enhedscirkel og marker en løsning til ligningen i cirklen.

  • b) Aflæs en omtrentlig værdi for løsningen.

  • c) Tjek din løsning i GeoGebra. Hvad var løsningen med to decimaler?

  • d) Ligningen har en til løsning i intervallet \([-\pi ; \pi ]\). Marker denne løsning i enhedscirklen og bestem værdien.

  • e) Opskriv samtlige løsninger til ligningen.

Løsning 6.3.5

  • a) Løsningen er længden af det grønne stykke:
    (-tikz- diagram)

  • b) \(x=0{,}8\)

  • c) \(x=0{,}78\)

  • d) Løsningen er længden af det grønne stykke:
    (-tikz- diagram)
    Løsningen er \(x=2{,}37\)

  • e) \(x=0{,}78+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad x=2{,}37 + p\cdot 2\pi \)

  • Eksempel 6.3.3
    Vi vil løse ligningen \(\tan (x)=4\). Vi starter i GeoGebra:

    (image)

    Vi ser at \(x=1{,}33\) er en løsning til ligningen. Vi laver nu en skitse af grafen for tangens og indsætter linjen \(y=4\)

    (-tikz- diagram)

    Vi ved allerede at tangens er periodisk med periode \(\pi \) og det fremgår af skitsen at der ikke er andre løsninger end dem vi får ved at gå et helt antal perioder ud til begge sider. Altså har vi alt løsningerne.

    \[x=1{,}33+p\cdot \pi ,\]

    hvor \(p\) er et helt tal.

Øvelse 6.3.6

Løs ligningerne

  • a) \(\cos (x)=0{,}8\)

  • b) \(\cos (x)=-0{,}4\)

  • c) \(\sin (x)=0{,}6\)

  • d) \(\sin (x)=2\)

  • e) \(\tan (x)=2\)

Løsning 6.3.6

  • a) \(x=-0{,}64 + p\cdot 2\pi \vee x=0{,}64+ p\cdot 2\pi \)

  • b) \(x=-1{,}98 + p\cdot 2\pi \vee x=1{,}98+ p\cdot 2\pi \)

  • c) \(x=0{,}64 + p\cdot 2\pi \vee x=2{,}50+ p\cdot 2\pi \)

  • d) \(L=\emptyset \)

  • e) \(\tan (x)=1{,}11+p\cdot \pi \)

  • Eksempel 6.3.4
    Vi vil nu, ved beregning, finde nulpunkter for funktionen:

    \[f(x)=4\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )+2, \quad x\in [0;20[\]

    Vi sætter \(f(x)=0\):

    \[4\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )+2=0\]

    Vi isolerer sinusdelen:

    \[\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )=-\frac {1}{2}\]

    Vi er noget dertil hvor vi gerne vil slippe af med vores sinus. Ligesom i de ovenstående eksempler, starter vi med at finde en enkelt løsning ved hjælp af GeoGebra. Vi regner \(\sin ^{-1}\left (-\frac {1}{2}\right )\) for at finde den vinkel som har en sinusværdi på \(-\frac {1}{2}\):

    (image)

    Vi ser at \(\sin ^{-1}\left (-\frac {1}{2}\right )=-0{,}52\). Men, det er ikke \(x\) vi har fundet. Der stod ikke \(\sin (x)\) i ligningen. Der stod \(\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )\). Så det er \(\frac {1}{2}x-6\) der skal være \(-0{,}52\). Vi har altså.

    \[\frac {1}{2}x-6=-0{,}52\]

    Ved at tegne i enhedscirklen som i de ovenstående eksempler, finder vi samtlige løsninger ved.

    \[\frac {1}{2}x-6=-0{,}52+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad \frac {1}{2}x-6=\pi -(-0{,}52)+p\cdot 2\pi \]

    Vi isolerer \(x\) i de to ligninger

    \[x =10{,}95+p\cdot 4\pi \quad \vee \quad x=19{,}33+p\cdot 4\pi \]

    Vi skal så bare finde ud af hvilke af løsninger der ligger inden for intervallet \([0;20[\). Vi starter med \(x =10{,}95\) trækker vi \(4\pi \) fra det ryger vi ud af intervallet. Lægger vi \(4\pi \) til ryger vi også ud af intervallet. Vi prøver den anden løsning \(x=19{,}33\). Lægger vi \(4\pi \) til ryger vi ud af intervallet, men trækker vi \(4\pi \) fra, ja så lander vi på \(6{,}76\) og det er jo inden for intervallet. Kan vi trække yderligere \(4\pi \) fra? Nej så ryger vi ud af intervallet. I alt har vi altså løsningerne:

    \[x=6{,}76\quad \vee \quad x=10{,}95\quad \vee \quad x=19{,}33,\]

    hvilket er vores 3 nulpunkter.

Man kunne sige vi snød en lille smule ved at bruge GeoGebra til at finde \(\sin ^{-1}\left (-\frac {1}{2}\right )\), men vi kan ikke regne den værdi i hånden. I gamle dage brugte man sinustabeller til at slå tallet op. Den slags tabeller er selvfølgeligt forældet og derfor er det helt fint at bruge GeoGebra.

Øvelse 6.3.7

Lad \(f(x)=2\cos (2x+1)-1\) ,  \(-2\leq x \leq 2\)

  • a) Bestem nulpunkter for \(f\). Hvis du ikke kan finde ud af metoden for ovenstående eksempel, så kan du få hjælp fra GeoGebra.

Løsning 6.3.7

  • a) \(x_1=-1{,}02\) og \(x_1=0{,}02\)

Differentialregning og trigonometriske funktioner

Graferne for de trigonometriske funktioner er uden knæk og spring og derfor kan de differentieres – jaja der er huller i definitionsmængden for tangens, og i de huller har tangens selvfølgelig ikke nogen differentialkvotient (klart, når den ikke defineret der).

Øvelse 6.3.8

Slå differentialkvotienterne for cosinus og sinus op i formelsamlingen og regn følgende differentialkvotienter.

  • a) \(f(x)=\cos (x)\)

  • b) \(f(x)=\sin (x)\)

  • c) \(f(x)=\sin (x)\cdot x\)

  • d) \(f(x)=5\cos (2x-1)+3\)

Løsning 6.3.8

  • a) \(f'(x)=-\sin (x)\)

  • b) \(f'(x)=\cos (x)\)

  • c) \(f'(x)=\cos (x)\cdot x+\sin (x)\)

  • d) \(f'(x)=-10\sin (2x-1)\)

Øvelse 6.3.9 (Svær)

  • a) Gennemfør, ved beregning, funktionsundersøgelsen for

    \[f(x)=4\sin \left (\frac {1}{2}x-6\right )+2, \quad x\in [0;20[\]

Løsning 6.3.9