MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
9.1 Lineær programmering med hjørneinspektion
Lineær programmering handler om at løse en bestemt type af opgaver. Det kan gøres med forskellige teknikker, og i dette afsnit skal vi se på den mest simple: lineær programmering ved hjørneinspektion. Selvom det er
den mest simple metode, er den stadig relativt kompliceret, og derfor vil vi i første omgang fokusere på hvordan man gør, og så kommer der forklaringer og detaljer i senere afsnit. Vi vil vise metoden med udgangspunkt i
opgaven:
En tøjproducent producerer trøjer og bukser.
Producenten har \(\SI {120}{m^2}\) bomuld og \(\SI {130}{m^2}\) polyester på lager.
Der går \(\SI {1,5}{m^2}\) bomuld og \(\SI {0,5}{m^2}\) polyester til en trøje.
Der går \(\SI {1}{m^2}\) bomuld og \(\SI {2}{m^2}\) polyester til et par et par bukser.
Dækningsbidraget er \(300\) kr. for en trøje og \(400\) kr. for et par bukser.
Hvor mange trøjer og hvor mange bukser skal der produceres få det størst mulige samlede dækningsbidrag? Hvad bliver det maksimale dækningsbidrag?
Opstilling af skema
Opgaven kan virke lidt forvirrende, og derfor er første skridt at skrive informationerne op i et skema, som er nemt at overskue.
. |
|
Trøjer |
Bukser |
Til rådighed |
Bomuld |
\(\SI {1,5}{m^2}\) |
\(\SI {1}{m^2}\) |
\(\SI {120}{m^2}\) |
Polyester |
\(\SI {0,5}{m^2}\) |
\(\SI {2}{m^2}\) |
\(\SI {130}{m^2}\) |
Dækningsbidrag |
\(300\) kr. |
\(400\) kr. |
|
|
|
|
|
Kriteriefunktionen
Vi skal optimere dækningsbidraget, og derfor starter vi med at bestemme en forskrift for dækningsbidraget. Dækningsbidraget afhænger af antallet af producerede trøjer og antallet af producerede bukser, og derfor sætter vi:
\(x=\) Antal producerede trøjer
\(y=\) Antal producerede bukser
Dækningsbidraget for en trøje er \(300\) kr. og dækningsbidraget for et par bukser er \(400\) kr., så hvis vi producerer \(x\) trøjer og \(y\) par bukser, må dækningsbidraget være givet ved funktionen
\[f(x,y)=300x+400y\]
Denne funktion kaldes også kriteriefunktionen. Generelt er kriteriefunktion den funktion, vi gerne vil optimere. I denne opgave er kriteriefunktionen en funktion som udtrykker dækningsbidraget, men i andre
sammenhænge kunne udtrykke andre ting som f.eks. omkostninger eller tidsforbrug.
Polygonområde
Det er klart at jo flere trøjer og bukser vi producerer, jo mere tjener vi. Men da vi har begrænsede mængder af bomuld og polyester vil det være begrænset, hvor meget vi kan producere af hver.
Producerer vi \(x\) trøjer og \(y\) par bukser vil vi bruge \(1{,}5\cdot x + 1\cdot y\) kvadratmeter bomuld (se skemaet). Da vi kun har \(\SI {120}{m^2}\) bomuld til rådighed, skal \(x\) og \(y\) altså opfylde uligheden:
\[1{,}5x+y\leq 120\]
For polyester må der gælde:
\[0{,}5x+2y\leq 130\]
Da vi ikke kan producere et negativt antal trøjer eller bukser har vi:
\[x\geq 0 \quad \text {og}\quad y\geq 0\]
Disse uligheder kan vi skrive ind i et algebravindue i GeoGebra og det vil give os:
Det mørkeste område kaldes polygonområdet, og det viser, hvad der er muligt at producerer. F.eks. ligger punktet \((40,20)\) i polygonområdet, og det betyder at vi har nok stof til at producere 40 trøjer og 20 bukser,
hvis vi vil det.
Bestemmelse af det optimale punkt
Vi har nu identificeret det optimale punkt i polygonområdet. I lineær programmering ligger det optimale punkt altid i et hjørne. Derfor starter vi med at finde hjørnepunkterne i polygonområdet.
Vi starter med at ændre ulighedstegnene til lighedstegn:
Vi kan nu finde hjørnepunkterne med skæringsværktøjet i GeoGebra. Det giver punkterne:
\[(0,0)\quad (0,65)\quad (44,54)\quad (80,0)\]
Vi regner nu funktionsværdien i hvert punkt. Dvs. vi indsætter punkterne i kriteriefunktionen som jo havde forskriften \(f(x,y)=300x+400y\):
\(f(0,0)=300\cdot 0 + 400\cdot 0=0\)
\(f(0,65) =300 \cdot 0 + 400 \cdot 65 = 26000\)
\(f(44,54) = 300 \cdot 44 + 400 \cdot 54 = 34800\)
\(f(80,0) = 300 \cdot 80 + 400 \cdot 0 = 24000\)
Vi ser at den højeste funktionsværdi er \(34800\) i punktet \((44,54)\). Det betyder at vi skal producerer \(44\) trøjer og \(54\) bukser for at få det maksimale dækningsbidrag som er på \(34800\) kr.
Øvelse 9.1.1
En virksomhed producerer to produkter: Produkt A og PRODUKT B.
Til PRODUKT A skal der bruges \(2\) arbejdstimer og \(\SI {5}{kg}\) råmateriale, mens PRODUKT B kræver \(4\) arbejdstimer og \(\SI {1}{kg}\) råmateriale.
Virksomheden har \(100\) arbejdstimer til rådighed og \(\SI {70}{kg}\) råmateriale.
Dækningsbidraget for PRODUKT A er \(10\) kr. pr. stk. mens dækningsbidraget for PRODUKT B er \(8\) kr. pr. stk.
Virksomheden vil gerne optimere dækningsbidraget.
-
a) Opstil et skema som viser informationerne på en overskuelig måde.
-
b) Definer \(x\) og \(y\) (dvs. bestem, hvad de skal betegne).
-
c) Opskriv en forskrift for kriteriefunktionen.
-
d) Tegn polygonområdet i GeoGebra.
-
e) Bestem, hvor mange PRODUKT A og hvor mange PRODUKT B virksomheden skal lave, og bestem det maksimale dækningsbidrag. Det forventes, at
du bruger skæringsværktøjet (eller en anden eksakt metode) til at finde hjørnepunkterne. Det er ikke nok at aflæse.
Løsning 9.1.1
-
a)
. |
|
PRODUKT A |
PRODUKT B |
Til rådighed |
Arbejdstimer |
\(\SI {2}{timer}\) |
\(\SI {4}{timer}\) |
\(\SI {100}{timer}\) |
Råmateriale |
\(\SI {5}{kg}\) |
\(\SI {1}{kg}\) |
\(\SI {70}{kg}\) |
Dækningsbidrag |
\(\SI {10}{kr}.\) |
\(\SI {8}{kr}.\) |
|
|
|
|
|
-
b) \(x\) er antal producerede PRODUKT A og \(y\) er antal producerede PRODUKT B.
-
c) \(f(x,y)=10x+8y\)
-
d) Polygonområdet er det mørkeste blå område.
-
e) Virksomheden skal producerer 10 PRODUKT A og 20 PRODUKT B, hvilket giver et dækningsbidrag på \(260\) kr., hvilket ikke er meget, men der jo
også bare et eksempel, så du kan lære metoden.
Øvelse 9.1.2
Vi bliver ved virksomheden fra sidste øvelse.
-
a) Hvad bliver den optimale produktion og det tilhørende dækningsbidrag, hvis nu dækningsbidraget for PRODUKT A pludselig stiger til 20 kr. pr. stk.?
-
b) Hvad bliver den optimale produktion og det tilhørende dækningsbidrag, hvis nu dækningsbidraget for PRODUKT A stiger videre til 60 kr. pr. stk.?
Løsning 9.1.2
-
a) Virksomheden skal stadig producerer 10 PRODUKT A og 20 PRODUKT B og vil så få et dækningsbidrag på \(360\) kr.
-
b) Virksomheden skal så producerer 14 PRODUKT A og ingen PRODUKT B og vil så få et dækningsbidrag på \(840\) kr.
Ligesom vi kan bruge lineær programmering til at maksimere en funktion, kan vi også bruge det til at minimere en funktion.
-
Eksempel 9.1.1
Vi vil minimere funktionen \(f(x,y)=3x+2y\) underlagt betingelserne:
\(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)
\begin{align*}
2x+y & \geq 10\\ x+y & \geq 8 \\ x+2y & \geq 10 \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 1
\end{align*}
Læg mærke til at vi har ”\(\geq \)” i stedet for ”\(\leq \)” i begrænsningerne. Det er fordi det er en minimeringsopgave. Her har vi minimumskrav i stedet for begrænsede ressourcer.
Vi tegner polygonområdet i GeoGebra:
Igen er polygonområdet det mørkeste område, så det er området øverst til højre. Denne gang er polygonområdet altså uendeligt stort. Sådan vil det typisk være i minimeringsopgaver.
Opgaven løses er helt tilsvarende til maksimering. Vi laver ulighederne om til ligninger og finder skæringspunkterne med skæringsværktøjet.
Jeg tester nu hjørnepunkterne:
\(f(0,10)=3 \cdot 0+ 2 \cdot 10 = 20\)
\(f(2,6)=3 \cdot 2 + 2 \cdot 6 = 18\)
\(f(6,2)=3 \cdot 6+ 2 \cdot 2 = 22\)
\(f(8,1)=3 \cdot 8 + 2 \cdot 1 = 25\)
Den mindste funktionsværdi er \(18\) og det sker i punktet \((2,6)\). Vi konkluderer at funktionen har minimum i \((2,6)\) og minimumsværdien er \(18\).
Øvelse 9.1.3
En elev vil sælge slikposer i kantinen. Hun reklamerer med:
Billige slikposer. Kom og køb. Du får miniskumbananer og/eller piratos. Mindst 20 stykker slik i hver pose. Mindst 120g i posen!
En miniskumbanan vejer 9 gram og en piratos vejer 4 gram.
Eleven kan indkøbe miniskumbananer til 2 kr. pr. stk. og piratos til 50 øre pr. stk.
Eleven vil gerne minimere sine omkostninger.
-
a) Lav et skema med oplysningerne i opgaven.
-
b) Definer \(x\) og \(y\).
-
c) Opskriv en funktion som udtrykker elevens omkostninger pr. slikpose.
-
d) Tegn polygonområdet.
-
e) Bestem, hvad eleven skal putte i poserne og bestem den samlede udgift pr. pose.
-
f) Pludselig stiger prisen på piratos til 1,5 kr. stk.. Hvad skal hun nu putte i poserne for at minimere sine udgifter.
Løsning 9.1.3
-
a)
. |
|
Miniskumbananer |
Piratos |
Minimumskrav |
Antal |
\(1\) |
\(1\) |
\(20\) |
Vægt |
\(\SI {9}{g}\) |
\(\SI {4}{g}\) |
\(\SI {120}{g}\) |
Omkostninger |
\(\SI {2}{kr}.\) |
\(\SI {0{,}5}{kr}.\) |
|
|
|
|
|
-
b) \(x\) er antal miniskumbananer i posen og \(y\) er antal piratos.
-
c) \(f(x,y)=2x+0{,}5y\)
-
d) Polygonområdet er det mørkeste område:
-
e) Hun skal putte 30 piratos i hver pose og det vil kosten hende 15 kr. pr. pose.
-
f) Hun skal putte 8 miniskumbananer og 12 piratos i hver pose og det vil koste hende 34 kr.