Beviser

Bevis

Da $$f$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$ må der gælde at

$$$f(x_1)=y_1\quad\textrm{ og }\quad f(x_2)=y_2$$$

Vi indsætter forskriften

$$$ba^{x_1}=y_1\quad\textrm{ og }\quad ba^{x_2}=y_2$$$

Vi dividerer de to ligninger. Det er i orden fordi at en ligning jo udtrykker at to ting er ens og derfor er det det samme vi dividerer med på begge sider.

$$$\frac{ba^{x_2}}{ba^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Vi forkorter med $$b$$: $$$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Vi bruger potensregnereglen $$\big(\frac{a^n}{a^m}\big)=a^{n-m}$$:

$$$a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Vi uddrager den $$x_2-x_1$$'te rod::

$$$a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}$$$

og vi har hermed vist formlen for $$a$$.

Bevis

Vi starter med at vise at $$b$$ er skæringspunktet på $$y$$-aksen. Skæringspunktet med $$y$$-aksen har førstekoordinaten $$0$$, så vi kan finde $$y$$-værdien ved at sætte $$0$$ ind i forskriften: $$$f(0)=b\cdot a^0 = b\cdot 1=b.$$$ Her har vi benyttet potensregnereglen $$a^0=1$$.

Så den er god nok! Funktionen skærer $$y$$-aksen i $$y=b$$.

Vi skal nu vise at når $$x$$ vokser med 1, vokser $$y$$ med $$r\cdot 100\%$$. Så vi vælger en vilkårlig $$x$$-værdi $$x_0$$. Lader vi $$x$$ vokse med 1 kommer vi derfor ud til $$x_0+1$$.

Vi regner den procentvise stigning (som decimaltal) fra $$f(x_0)$$ til $$f(x_0+1)$$: $$$\frac{f(x_0+1)-f(x_0)}{f(x_0)}$$$

Vi deler brøken op:

$$$=\frac{f(x_0+1)}{f(x_0)}-\frac{f(x_0)}{f(x_0)}=\frac{f(x_0+1)}{f(x_0)}-1$$$

Vi indsætter forskriften:

$$$=\frac{ba^{x_0+1}}{ba^{x_0}}-1$$$

Vi forkorter med $$b$$:

$$$=\frac{a^{x_0+1}}{a^{x_0}}-1$$$

Bevis

Fordoblingskonstanten $$T_2$$ er længen af det stykke på $$x$$-aksen vi skal gå ud for at fordoble funktionen. Hvis vi starter i $$x=0$$ og går ud til $$T_2$$ ud af $$x$$-aksen skal funktionsværdien i $$x=T_2$$ altså være dobbelt så stor som i $$x=0$$.

Vi ved at en eksponentiel funktion skærer $$y$$-aksen i $$b$$ så derfor må funktionsværdien i $$x=T_2$$ være $$2b$$:

Ifølge tegningen har vi altså: $$$f(T_2)=2b$$$

Vi indsætter forskriften: $$$ba^{T_2}=2b.$$$

Vi deler med $$b$$ på begge sider: $$$a^{T_2}=2.$$$

Vi tager den naturlige logaritme på begge sider: $$$\ln(a^{T_2})=\ln(2).$$$

Vi bruger reglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$: $$$T_2\ln(a)=\ln(2).$$$

Bevis

Fordoblingskonstanten $$T_2$$ skal være længen af det stykke på $$x$$-aksen vi skal gå ud for at fordoble funktionen.

Så vi starter i en vi vilkårlig x-værdi $$x=x_0$$ og går ud ad x-aksen indtil vi har den dobbelte funktionsværdi. Det stykke vi går ud kalder vi $$T_2$$ og pr. konstruktion har vi at $$f(x_0+T_2)=2f(x)$$:

Ifølge tegningen har vi: $$$f(x_0+T_2)=2f(x_0)$$$

Vi indsætter forskriften: $$$ba^{x_0+T_2}=2ba^{x_0}.$$$

Vi deler med $$b$$ på begge sider: $$$a^{x_0+T_2}=2a^{x_0}.$$$

Vi deler med $$a^{x_0}$$ på begge sider: $$$\frac{a^{x_0+T_2}}{a^{x_0}}=\frac{2a^{x_0}}{a^{x_0}}.$$$

Vi bruger potensregnereglen $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$ på venstre side og reducerer på højre: $$$a^{T_2}=2.$$$

Vi tager den naturlige logaritme på begge sider: $$$\ln(a^{T_2})=\ln(2).$$$

Vi bruger reglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$: $$$T_2\ln(a)=\ln(2).$$$

Da $$\ln(x)$$ er den omvendte funktion til $$e^x$$ gælder at $$e^{\ln(a)}=a$$. Så derfor må $$$\ln(a^x)=\ln((e^{\ln(a)})^x)$$$

Vi benytter reglen $${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$$ på højresiden $$$\ln(a^x)=\ln(e^{\ln(a)\cdot x})$$$

Igen benytter vi at $$\ln(x)$$ er den omvendte funktion til $$e^x$$ og får højresiden til at være $$$\ln(a^x)=\ln(a)\cdot x$$$