Opvarmning til tretrinsreglen

I næste afsnit skal vi se på hvordan man kan bruge definitionen af differentialkvotienten til at bestemme differentialkvotienter for udvalgte funktioner. Det kræver imidlertid lidt teknik og det vil vi se på i dette afsnit

Kvadratsætninger

Vi starter med kvadratsætningerne. Jeg ved ikke om du kan huske det, men da vi beviste nulpunktsformlen bruge vi også en kvadratsætning

Sætning 1

📌

For to størrelser $$a$$ og $$b$$ gælder:

  1. $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
  2. $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
  3. $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Eksempel 1

📌

Ved at bruge sætning 1 c) kan vi nemt regne $$(x+2)(x-2)$$: $$$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4.$$$

Øvelse 1

📌

Brug sætning 1 til at regne:

  1. $$(x-y)^2$$

    $$x^2-2xy+y^2$$

  2. $$(2x+y)^2$$

    $$4x^2+4xy+y^2$$

  3. $$(x+\Delta x)^2$$.

    $$x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2$$

  4. $$(x-\Delta x)(x+\Delta x)$$

    $$x^2-(\Delta x)^2$$

Funktionsværdier

På nuværende tidspunkt skulle du helst ikke være i tvivl om hvordan man udregner en funktionsværdi. Hvis f.eks. $$f(x)=2x+5$$ så er $$f(3)=2\cdot 3+5=11$$ right?

Vi kan se at definitionionen af differentialkvotienten indeholder udtrykket $$f(x+\Delta x)$$, og derfor får vi brug for at kunne udregne funktionsværdier af udtryk der indeholder bogstaver. Heldigvis fungerer det helt på tilsvarende måde som når det er et konkret tal.

Eksempel 2

📌

Vi ser på funktionen $$f(x)=x^2$$.

Vi udregner $$f(z)=z^2$$ og $$f(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$.

Øvelse 2

📌
  1. Lad $$f(x)=2x-3$$. Bestem $$f(s+t)$$.

    $$f(s+t)=2s+2t-3$$

  2. Lad $$f(x)=-x+1$$. Bestem $$f(a+2)$$.

    $$f(a+2)=-a-1$$

  3. Lad $$f(x)=2x^2$$. Bestem $$f(x-1)$$.

    $$f(x-1)=2x^2-4x+2$$

  4. Lad $$f(x)=x^2$$. Bestem $$f(\Delta x)$$.

    $$f(\Delta x)=(\Delta x)^2$$

  5. Lad $$f(x)=2x^2+x$$. Bestem $$f(x+\Delta x)$$.

    $$f(x+\Delta x)=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2+x+\Delta x$$

  6. Lad $$f(x)=5$$. Bestem $$f(2\Delta x)$$

    $$f(2\Delta x)=5$$

Forkortning af brøker

Vi husker fra folkeskolen at man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner. F.eks. er $$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ når vi forkorter med 2. Skal man forkorte en brøk med bogstaver skal man huske at man skal dividere i hvert led (led adskildes af plus og minus).

Eksempel 3

📌

Vi kan forkorter brøken $$\frac{ax+ay}{2a}$$ med $$a$$: $$$\frac{ax+ay}{2a}=\frac{x+y}{2}.$$$

Eksempel 4

📌

Vi kan forkorte brøken $$\frac{x\Delta x+\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}$$ med $$\Delta x$$.

Det er nemt at se, hvis vi omskriver den lidt først: $$$\frac{x\Delta x+\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}=\frac{x\Delta x+1\cdot \Delta x-\Delta x\cdot \Delta x}{\Delta x}=x+1-\Delta x$$$

Øvelse 3

📌

Forkort følgende brøker:

  1. $$\frac{9}{3}$$

    $$\frac{9}{3}=3$$

  2. $$\frac{ab}{ac}$$

    $$\frac{ab}{ac}=\frac{b}{c}$$

  3. $$\frac{ax+bx}{cx}$$

    $$\frac{ax+bx}{cx}=\frac{a+b}{c}$$

  4. $$\frac{ax+bx}{x}$$

    $$\frac{ax+bx}{x}=a+b$$

  5. $$\frac{x\Delta x+\Delta x}{x^2\Delta x}$$

    $$\frac{x\Delta x+\Delta x}{x^2\Delta x}=\frac{x+1}{x^2}$$

  6. $$\frac{\Delta x}{(\Delta x)^2}$$

    $$\frac{\Delta x}{(\Delta x)^2}=\frac{1}{\Delta x}$$

  7. $$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta x}$$

    $$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta x}=\Delta x$$

Grænseværdier

Grænseværdier er alle elevers skræk. Hvad betyder dette mystiske "$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$$"? Heldigvis er nemt at bestemme grænseværdier i praksis.

Eksempel 5

📌

Vi vil bestemme $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(5+\Delta x).$$

Det betyder "Det som $$5+\Delta x$$ kommer tæt på når $$\Delta x$$ kommer tæt på $$0$$".

Vi prøver med nogle forskellige "små" værdier for $$\Delta x$$:

$$\Delta x$$ $$5+\Delta x$$
$$0{,}1$$ $$5+0{,}1=5{,}1$$
$$0{,}01$$ $$5+0{,}01=5{,}01$$
$$0{,}000001$$ $$5+0{,}0000001=5{,}0000001$$

Det er tydeligt at vi nærmer os 5 når $$\Delta x$$ nærmer sig $$0$$. Altså er $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(5+\Delta x)=5$$$

Øvelse 4

📌

Bestem grænseværdierne:

  1. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(1+\Delta x)$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(1+\Delta x)=1$$

  2. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2\cdot\Delta x-1)$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2\cdot\Delta x-1)=-1$$

  3. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{5}$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{5}=0$$

  4. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}\textrm{ eksisterer ikke (bliver uendeligt stort)}$$

  5. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+x\cdot\Delta x)$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+x\cdot\Delta x)=2x$$

Eksempel 6

📌

Vi vil bestemme $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x}{x+\Delta x}.$$

Det er hurtigt klaret, fordi vi kan se der står det samme i tæller og nævner og derfor er brøken kostant lig med 1 uanset hvad $$\Delta x$$ er.

Vi laver en tabel for en ordens skyld:

$$\Delta x$$ $$\frac{x+\Delta x}{x+\Delta x}$$
$$0{,}1$$ $$\frac{x+0{,}1}{x+0{,}1}=1$$
$$0{,}01$$ $$\frac{x+0{,}01}{x+0{,}01}=1$$
$$0{,}000001$$ $$\frac{x+0{,}0000001}{x+0{,}0000001}=1$$

Altså er $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x}{x+\Delta x}=1.$$$

Eksempel 7

📌

Vi vil bestemme $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+7).$$

Vi ser at $$2x+7$$ slet ikke indeholder $$\Delta x$$ og derfor ændrer det sig ikke når $$\Delta x$$ går mod $$0$$. Så $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+7)=2x+7.$$$

Øvelse 5

📌

Bestem grænseværdierne

  1. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(a).$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(a)=a.$$

  2. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{2\Delta x}{2\Delta x}).$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{2\Delta x}{2\Delta x})=1.$$

  3. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{2\Delta x}{\Delta x}).$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{2\Delta x}{\Delta x})=2.$$

  4. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{(\Delta x)^2}{2\Delta x}).$$

    $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\frac{(\Delta x)^2}{2\Delta x})=0.$$

Såååå... det var nok teknik for denne gang:)