Ekstrema
Et ekstremum (flertal: ekstrema) er en maksimum eller minimumsværdi for en funktion.
Betragt grafen:
Kigger man f.eks. på punktet $$D$$ kan man se at det ligger på toppen af en bue. Punktet er ikke det højeste punkt på hele grafen, men det er det højeste i et område omkring punktet:
Punktet $$D$$ markerer et lokalt maksimum. Havde $$D$$ været det højeste punkt på hele grafen havde det været et globalt maksimum. På tilsvarende måde kan vi se at $$C$$ markerer et lokalt minimum. Førstekoordinaten til et ekstremum kaldes ekstremumsstedet og andenkoordinaten kaldes ekstemumsværdien (eller bare funktionens maksimum/minimum).
Øvelse 1
Afgør typen af ekstrema for resten af punkterne på grafen.
$$A$$: globalt minimum
$$B$$: lokalt maksimum
$$E$$: lokalt minimum
$$F$$: lokalt maksimum
Eksempel 1
Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$. Vi vil gerne bestemme funktionens ekstrema.
Vi kan se at det laveste punkt på grafen er $$(0,1)$$. Derfor punktet $$(0,1)$$ et globalt minimumspunkt for $$f$$.
Funktionen har ikke andre ekstrema.
Minimumsstedet er $$0$$ og minimumsværdien er $$1$$.
Vi siger at "$$f$$ har et globalt minimum i $$x=0$$ med minimumsværdi $$1$$".
Øvelse 2
Betragt grafen for funktionen $$g$$
Bestem ekstrema for $$g$$
Funktionen har et globalt maksimum i $$x=-1$$ med maksimumsværdi $$2$$.
Eksempel 2
Vi vil bestemme ekstrema for funktionen:
Vi kan se at funktionen har lokalt maksimum i $$x=-2)$$ og globalt minimum i $$x=1$$, men hvad med punktet $$P$$?
Fordi $$P$$ er markeret med en åben bolle betyder det at det ikke ligger på grafen og derfor er det ikke noget minimumspunkt.
Der er altså ikke andre ekstrema andre steder end i $$x=-2$$ og i $$x=1$$.
Øvelse 3
Betragt grafen for funktionen $$f$$
Bestem ekstrema for $$f$$
Funktionen har globalt minimum $$-2{,}5$$ i $$x=-2$$ og globalt maksimum $$2$$ i $$x=1$$.