Deskriptorer for grupperede observationer

Vi fortsætter med eksemplet med højde i en gymnasieklasse:

Observation $$(x_i)\quad$$ Hyppighed $$(h_i)\quad$$ Frekvens $$(f_i)\quad$$ Summ frekv. $$(F_i)\quad$$ Midtpunkt $$(m_i)$$
$$]150;160]$$ $$1$$ $$0{,}04$$ $$0{,}04$$ $$155$$
$$]160;170]$$ $$9$$ $$0{,}36$$ $$0{,}40$$ $$165$$
$$]170;180]$$ $$12$$ $$0{,}48$$ $$0{,}88$$ $$175$$
$$]180;190]$$ $$3$$ $$0{,}12$$ $$1$$ $$185$$

Ligesom for grupperede observationer har vi positionsmål og spredningsmål.

Positionsmål

Gennemsnit

Gennemsnittet findes ved formlen: $$$\bar{x}=m_1\cdot f_1+m_2\cdot f_2+\cdots+m_k\cdot f_k$$$ hvor $$m_1,m_2,\ldots,m_k$$ er intervalmidtpunkterne, og $$f_1,f_2,\ldots,f_k$$ er de tilhørende frekvenser.

Øvelse 1

📌

Vi vil regne gennemsnittet for vores eksempel : $$$\bar x= 155\cdot 0{,}04+?\cdot 0{,}36+175\cdot ?+185\cdot 0{,}12=?$$$

Gør regnestykket færdigt (hvad der skal stå i stedet for "?")

$$$\bar x= 155\cdot 0{,}04+165\cdot 0{,}36+175\cdot 0{,}48+185\cdot 0{,}12=171{,}8$$$

Øvelse 2 (svær)

📌
Overvej hvor formlen for gennemsnit for grupperede observationer kommer fra. Kan du argumentere for den er rimelig?

Vi snakker om den i klassen

Typeinterval

Typeintervallet er det interval med den højeste hyppighed.

Øvelse 3

📌
Bestem typeintervallet for vores eksempel.

Typeintervallet er $$]170;180]$$.

Median og kvartilsæt

Ligesom ved diskrete observationer består medianen af 50%-fraktilen og kvartilsættet af 25%-fraktilen (nedre), 50%-fraktilen (median) og 75%-fraktilen (øvre). Fraktilerne finder vi ved hjælp af et diagram. Vi ser nærmere på det i afsnittet om diagrammer for grupperede observationer.

Spredningsmål

Kvartilafstand

Kvartilafstanden er ligesom ved diskrete observationer bestemt ved: $$$\textrm{Øvre kvartil}-\textrm{Nedre kvartil}$$$

Varians

Varians bestemmes ved formlen: $$$s^2=(m_1-\bar{x})^2\cdot f_1+(m_2-\bar{x})^2\cdot f_2+\cdots+(m_k-\bar{x})^2 \cdot f_k.$$$

For vores eksempel bliver variansen \begin{align}s^2 & = (155-171{,}8)^2\cdot 0{,}04+(165-171{,}8)^2\cdot 0{,}36+\cdots +(185-171{,}8)^2\cdot 0{,}12\\ & =53{,}76\end{align}

Øvelse 4 (svær)

📌
Overvej hvor formlen for varians for grupperede observationer kommer fra. Kan du argumentere for den er rimelig?

Vi snakker om den i klassen

Standardafvigelse

Standardafvigelsen er givet ved $$$s=\sqrt{s^2}$$$

For vores eksempel bliver standardafvigelsen $$s=\sqrt{53{,}76}=7{,}33$$.

Øvelse 5

📌

Betragt observationssættet:

Observation $$(x_i)\quad$$ Hyppighed $$(h_i)\quad$$
$$]0;10]$$ $$11$$
$$]10;20]$$ $$23$$
$$]20;40]$$ $$7$$
Bestem gennemsnit, typeinterval, varians og standardafvigelse.

Gennemsnittet er $$14{,}88$$
Typeintervallet er $$]10;20]$$
Variansen er $$65{,}23$$
Standardafvigelsen er $$8{,}08$$