Differentialregning i Geogebra
Det er nemt at finde differentialkvotienter i Geogebra.
Eksempel 1
Lad $$f(x)=x\cdot e^x$$. Vi finder $$f'(x)$$ ved hælp af Geogebra ved først at indtaste $$f(x)$$:
og derefter skriver vi "f'(x)" i inputfeltet:
og tadaaa!
Altså er $$f'(x)=e^x+xe^x$$.
Øvelse 1
Lad $$f(x)=\frac{x}{\textrm{ln}(x)}$$
Bestem $$f'(x)$$ vha. Geogebra.
$$$f'(x)=\frac{\textrm{ln}(x)-1}{\textrm{ln}(x)^2}$$$
Det er (næsten) ligeså nemt at finde tangenter i Geogebra.
Eksempel 2
Vi vil finde en ligning for tangenten til funktionen $$f(x)=\frac{x}{\textrm{ln}(x)}$$ fra øvelse 1 i punktet $$(2,f(2))$$. Vi intaster $$f$$ i Geogebra:
Vi begynder at skrive tangent og den komme selv med forslag:
og vi indtaster "2" som punkt (x-koordinaten) og "f" som funktion:
og vi kan se tangenten og en en ligning for tangenten:
Øvelse 2
Lad $$f(x)=\sqrt{x^2+1}$$.
-
Bestem $$f'(x)$$.
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
-
Bestem tangenten til $$f$$ gennem punktet $$(1,f(1))$$.
$$y=0{,}71x+0{,}71$$
Eksempel 3
Vi vil bestemme en ligning for den tangent for $$f(x)=x^2$$ som er parallel med $$y=2x+4$$.
Hvis tangenten skal være parallel med $$y=2x+4$$, skal den have en hældning på $$2$$. Altså skal $$f'(x)=2$$.
Vi åbner Geogebra skriver funktionen ind og åbner derefter et "CAS"-vindue:
Vi skriver "solve(f'(x)=2,x)" ind i CAS-vinduet. Kommandoen fortæller Geogebra at den skal finde $$x$$ i ligningen $$f'(x)=2$$:
Vi får
Altså har tangenten en hældning på $$2$$ når $$x=1$$.
Vi kan nu finde ligningen ved at skrive: "Tangent[1,f]". Tangentens ligning bliver: $$$y=2x-1.$$$
Øvelse 3
Lad $$f(x)=x^2$$.
Bestem den tangent til $$f$$ som har en hældning på $$-3$$.
$$$y=-3x-2{,}25$$$
Det punkt hvor tangenten rører grafen kaldes røringspunktet:
Eksempel 4
Vi vil finde røringspunktet for tangenten i eksempel 3.
I eksemplet fandt vi ud af at $$x$$-koordinaten til røringspunktet var 1. Vi finder så $$y$$-koordinaten ved at sige $$f(1)$$ (hvorfor?). Vi husker fra eksemplet at $$f(x)=x^2$$
$$$f(1)=1^2=1$$$
Altså er røringspunktet $$(1;1)$$.
Øvelse 4
Lad $$f(x)=\sqrt{e^x}$$.
-
Bestem en ligning for den tangent som er parallel med linjen $$y=2x-10$$.
$$y=2x-1{,}55$$
-
Bestem røringspunktet til den tangent som er parallel med linjen $$y=2x-10$$.
$$(2{,}77;4)$$
Øvelse 5
Lad $$f(x)=x^5-x^4$$. Funktionen $$f(x)$$ har to tangenter der er parallelle med $$y=3x-2$$.
Bestem en ligning for disse to tangenter.
$$y=3x+1{,}7$$.
$$y=3x-3{,}19$$.
Som altid er det helt ok at bruge Geogebra til skriftlige afleveringer/eksamen, så det vil jeg anbefale til den type opgaver (hvis de er "med hjælpemidler").