Kapitalfremskrivning
Kapital fremskrivning handler om en kapital (penge) som står i banken og samler renter. Før vi kan komme igang har vi brug for at introducere nogle begreber.
Kapital
En kapital er et pengebeløb. Vi bruger typisk bogstavet $$K$$ som forkortelse for "kapital"
Rente
Renten kan angives i procent eller decimaltal. Når man skal regne med renten skal man først omskrive den til decimaltal. ilsvarende skal man selv omregne renten tilbage til en procentsats, hvis man bruger en formel til at finde renten. Renten som decimaltal vil vi betegne med $$r$$.
Terminer og rentefod
Har man faste rentetilskrivninger kalder man dem for terminer. Renten pr. termin kalder vi for rentefoden. Antallet af terminer er altså det sammen som antallet af rentetilskrivninger og betegnes med $$n$$.
Øvelse 1
Bestem renten som decimaltal når renten er på 4%.
$$r=0{,}04$$
Det første vi kigger på er en kapital $$K_0$$ (læses "k-nul") som står om samler renter. Det kunne være nogle penge du havde sat i banken. Kapitalens størrelse efter $$n$$ terminer kalder vi for $$K_n$$. Dette kan vi illustrere på en tidslinje:
Fremskrivningsformlen
For en startkapital $$K_0$$ som bliver tilskrevet en fast rente $$r$$ over $$n$$ terminer gælder der, at størrelsen på slutkapitalen $$K_n$$ kan beregnes ved $$$K_n=K_0(1+r)^n$$$
Eksempel 1
Lille Gysse sætter 100kr. i banken. Hun får tilskrevet 2% i rente en gang hvert år. Vi vil nu regne ud hvad hun har efter 5 år:
$$$K_n=K_0(1+r)^n,$$$
dvs. $$$K_5=100(1+0{,}02)^5=110{,}41.$$$ Altså har Lille Gysse 110,41 kr. på sin konto efter 5 år.
Øvelse 2
Lille Gysse sætter nu 200 kr. ind på en anden konto. På den konto får hun 3% om året.
Hvad har hun efter 10 år?
268,78 kr.
Øvelse 3 (svær)
Med udgangspunkt i forskriften for en eksponentiel funktion skal du gøre rede for fremskrivningsformlen. Altså du skal forklare, hvorfor formlen er rigtig.
Vi husker fra kapitlet om eksponentielle funktioner at en størrelse $$f(x)$$ som vokser med en fast procent når $$x$$ vokser med 1 kan beskrives med en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$. I vores tilfælde er det $$K_n$$ som vokser med en fast procent (renten), hver gang $$n$$ vokser med 1. Altså har vi $$K_n=ba^n$$. Vi husker at $$b$$ var det samme som begyndelsesværdien så $$b=K_0$$. Vi husker også at den procentvise vækst som decimaltal (hvilket i vores tilfælde jo er renten som decimaltal) kunne skrives som $$r=a-1$$, dvs. $$a=r+1$$. Alt i alt har vi at $$K_n=K_0(1+r)^n$$.
Vi har lært, hvordan man finder størrelsen på en kapital $$K_n$$ ud fra startkapitalen $$K_0$$, renten $$r$$ og antallet af terminer $$n$$. Men det er ikke altid $$K_n$$ som er den ubekendte når vi regner kapitalfremskrivningsopgaver. Det kunne f.eks. være at vi kendte $$K_n$$, $$n$$ og $$r$$ og ville finde $$K_0$$. Nedenstående tabel viser formlerne for de forskellige størrelser som indgår i en kapitalfremskrivning.
| Slutkapital | Startkapital | Rentefoden | Antallet af terminer |
|---|---|---|---|
| $$K_n=K_0(1+r)^n$$ | $$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}$$ | $$r=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1$$ | $$n=\frac{\ln(\frac{K_n}{K_0})}{\ln(1+r)}$$ |
Eksempel 2
For lang tiden siden satte Tigerdyret 100 kr. ind på en konto. Kontoen er blevet tilskrevet en rente på 5% hver termin. Lige nu står der 1146,74 kr. på kontoen. Tigerdyret vil nu regne ud, hvor mange terminer der er gået siden pengene blev sat ind.
$$$n=\frac{\ln(\frac{K_n}{K_0})}{\ln(1+r)}=\frac{\ln(\frac{1146{,}74}{100})}{\ln(1+0{,}05)}=50.$$$
Altså er der gået 50 terminer siden pengene blev sat ind.
Øvelse 4
En mand sætter 1000 kr. ind på en konto efter 10 terminer står der 1343,92 kr. på kontoen.
Hvad var rentefoden?
Rentefoden er 3% pr. termin.
Øvelse 5
En dame har 23219,38 kr. på en konto. Hun ved at rentefoden er 1% og hun ved at hun satte et enkelt beløb ind som stået på kontoen 15 terminer. Hun kan simpelthen bare ikke liiiiiiiige huske beløbet!
Hjælp den flinke dame.
Det var 20.000 kr. hun satte ind.
Øvelse 6
En elev fra Niels Brock fik 500 kr. af sin far fordi han havde fået så flotte matematikkarakterer. Eleven satte pengene ind på en konto med en rentefod på 2%. Efter et stykke tid havde eleven 585,83 kr.
Hvor mange terminer har pengene stået på kontoen?
8
Øvelse 7
Hvor mange penge har man efter 20 terminer, hvis man sætter 100 kr. ind på en konto og rentefoden 7%?
386,97 kr.
Øvelse 8 (svær)
Formlen $$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}$$ kaldes også "tilbageskrivningsformlen".
Med udgangspunkt i fremksrivningsformlen skal du bevise tilbageskrivningsformlen.
Ifølge fremskrivningsformlen er $$$K_n=K_0(1+r)^n.$$$ Vi isolerer nu $$K_0$$ ved at dividere med $$(1+r)^n$$ på begge sider: $$$\frac{K_n}{(1+r)^n}=K_0.$$$ Til sidst bytter vi rundt på højre og venstre side: $$$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}.$$$ Se det var jo herrenemt.
Øvelse 9 (svær)
Formlen for renten ser således ud: $$$r=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1$$$
Bevis formlen på tilsvarende måde som i øvelse 8.
Ifølge fremskrivningsformlen er $$$K_n=K_0(1+r)^n.$$$ Vi dividerer nu med $$K_0$$ på begge sider: $$$\frac{K_n}{K_0}=(1+r)^n.$$$ Vi tager derefter den n'te rod på begge sider: $$$\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}=(1+r).$$$ Vi trækker så 1 fra på begge sider: $$$\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1=r,$$$ og bytter rundt på højre og venstre side: : $$$r=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1.$$$ Det var heller ikke så svær hva?
Øvelse 10 (svær)
Formlen for antallet af terminer ser således ud: $$$n=\frac{\ln(\frac{K_n}{K_0})}{\ln(1+r)}.$$$
Bevis formlen
Ifølge fremskrivningsformlen er $$$K_n=K_0(1+r)^n.$$$ Vi dividerer nu med $$K_0$$ på begge sider: $$$\frac{K_n}{K_0}=(1+r)^n.$$$ Vi skal finde $$n$$ og åh nej det er jo rigtig dumt for $$n$$ står i eksponenten å-ååååhh. Heldigvis har vi lært om logaritmer og dem kan vi jo bruge til at fiske $$n$$ ned. Så vi tager den naturlige logaritme på begge sider: $$$\ln(\frac{K_n}{K_0})=\ln((1+r)^n).$$$ Vi benytter reglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$ og får:$$$\ln(\frac{K_n}{K_0})=n\ln(1+r).$$$ Vi dividerer så med $$\ln(1+r)$$ på begge sider: $$$\frac{\ln(\frac{K_n}{K_0})}{\ln(1+r)}=n,$$$ og bytter rundt på højre og venstre side: $$$n=\frac{\ln(\frac{K_n}{K_0})}{\ln(1+r)}.$$$