Beviser

Niveaulinje-sætningen

Første skridt

Vi skriver sætningen op:

Sætning 1

📌

For $$f(x,y)=ax+by+c$$ og for $$t\in\mathbb{R}$$ er niveaukurven $$N(t)$$ en linje bestemt ved følgende ligning:

$$$y=-\frac{a}{b}x+\frac{t-c}{b}.$$$

Næste skridt

Bevis

Vi husker at $$N(t)$$ er kurven givet ved ligningen: $$$f(x,y)=t$$$

Næste skridt

Vi indsætter forskriften i stedet for $$f(x,y)$$:

$$$ax+by+c=t.$$$

Næste skridt

Vi trækker $$ax$$ og $$c$$ fra på begge sider:

$$$by=-ax+t-c.$$$

Næste skridt

Vi deler med $$b$$:

$$$y=\frac{-ax+t-c}{b}.$$$

Næste skridt

Vi deler brøken op:

$$$y=\frac{-ax}{b}+\frac{t-c}{b},$$$

Sidste skridt

og trækker "minus" ned foran brøken og $$x$$ ned bag brøken:

$$$y=-\frac{a}{b}x+\frac{t-c}{b}$$$

og vi nået frem til den ligning vi gerne ville vise. Vi bemærker at ligningen udtrykker en lineær funktion med hældning $$-\frac{a}{b}$$ og skæring med $$y$$-aksen $$\frac{t-c}{b}$$.