Grafer

Indtil videre har vi illustreret funktioner med mængdeboller som f.eks.:

Funktion

Ovenstående viser funktionen med forskriften $$f(x)=2x$$.

Fremover vil vi ikke illustrere funktioner med mængdeboller. I stedet vil vi tegne deres grafer. Man tegner en graf ved først at lave et sildeben. Vi konstruerer sildebenet ved først at vælge nogle $$x$$-værdier, og derefter udregne de tilhørende $$y$$-værdier. Det hele stilles op i en tabel.

Eksempel 1

📌

Vi konstruerer et sildeben for funktionen $$f(x)=2x$$. Vi vælger $$x$$-værdierne til at gå fra -4 til 4. Vores sildeben kommer så til at se således ud:

$$x$$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
$$f(x)$$ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Den nederste række er udregnet ved at regne:

$$f(-4)=2\cdot (-4)=-8$$
$$f(-3)=2\cdot (-3)=-6$$
osv.

Øvelse 1

📌
Lav et sildeben for funktionen $$f(x)=3x$$
$$x$$ -3 -2 -1 0 1 2 3
$$f(x)$$ -9 -6 -3 0 3 6 9

Øvelse 2

📌

Nedenunder ses et sildeben for funktionen $$f(x)=2x^2-10$$.

$$x$$ -3 -2 -1 0 1 2 3
$$f(x)$$ 8 -2 -10 8
Beregn de manglende felter.
$$x$$ -3 -2 -1 0 1 2 3
$$f(x)$$ 8 -2 -8 -10 -8 -2 8

Har man et sildeben, kan man tegne en graf. Hver kolonne i sildebenet bliver til et punkt i et koordinatsystem. Man afsætter $$x$$-værdien ud af $$x$$-aksen og $$f(x)$$ værdien ud af $$y$$-aksen (vi husker at $$f(x)=y$$). Punkterne man tegner kaldes "støttepunkter".

Eksempel 2

📌

I eksempel 1 lavede vi et sildeben for funktionen $$f(x)=2x$$. Det så således ud:

$$x$$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
$$f(x)$$ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Vi tegner grafen ved at afsætte punkterne fra sildebenet i et koordinatsystem:

Graf

og derefter forbinde dem med en blød kurve:

Graf

Vi kan se på grafen at det er linje. Funktioner der har linjer som grafer kaldes lineære funktioner og der findes nemmere metoder til at tegne dem. Mere om det i næste kapitel.

Øvelse 3

📌

Nedenunder ses sildebenet for en funktion.

$$x$$ -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5
$$f(x)$$ -9,25 -3,25 0,75 2,75 2,75 0,75 -3,25 -9,25
Tegn grafen

Graf

Øvelse 4

📌
Tegn med papir og blyant grafen for funktionen $$f(x)=2x^2-10$$ fra øvelse 2

Graf

Øvelse 5

📌
  1. Hvordan tegner man grafen for en funktion når man har forskriften for funktionen?

    Man laver først et sildeben, derefter indsætter man punkterne i et koordinatsystem, og til sidst forbinder man dem med en blød kurve.

  2. Lov dig selv, at du vil huske svaret på det spørgsmål i resten af din tid på HHX.

    Jaja jeg skal nok.

Øvelse 6

📌
Tegn med papir og blyant grafen for funktionen $$f(x)=\frac{1}{x}$$.

Graf

VINK: Den er lidt tricky, så du får brug for ekstra mange støttepunkter (specielt $$x$$-værdier lige over/under $$0$$).

Skæringspunkter

Har man to funktioner $$f$$ og $$g$$ finder man evt. skæringspunkter ved at sætte $$f(x)=g(x)$$ og løse ligningen.

Eksempel 3

📌

Vi vil gerne finde skæringspunktet mellem $$f(x)=-2x+2$$ og $$g(x)=2x$$. Vi løser ligningen: \begin{align}f(x) & =g(x)\\-2x+2 &=2x\\-4x & = -2\\x &=\frac{-2}{-4}\\x &=\frac{1}{2}\end{align} Altså er $$x$$-værdien til skæringspunktet $$\frac{1}{2}$$. Vi finder $$y$$-værdien ved at sætte $$x$$-værdien ind i forskriften for $$f$$ eller $$g$$. Vi vælger $$g$$ da den er mest simpel: $$$g(\frac{1}{2})=2*\frac{1}{2}=1$$$

Altså skærer $$f$$ og $$g$$ hinanden i punktet $$(\frac{1}{2};1)$$

Øvelse 7

📌

Beregn evt. skæringspunkter mellem funktionerne

  1. $$f(x)=2x+1 \quad \textrm{og}\quad g(x)=-x+4$$

    (1,3)

  2. $$f(x)=3x+7 \quad \textrm{og}\quad g(x)=-4x+2$$

    (-0,71;4,86)

  3. $$f(x)=2x \quad \textrm{og}\quad g(x)=2x+2$$

    Der er ingen...

  4. $$f(x)=\frac{1}{x} \quad \textrm{og}\quad g(x)=x$$ (Den er lidt svær. Tænk dig om!)

    (-1,1) og (1,1)