Differentialkvotienter for opbyggede funktioner (A-niveau)

I dette afsnit skal vi udvide vores tabel for opbyggede funktioner, så den bliver komplet i den forstand, at vi så vil være i stand til at differentiere alle de differentiable funktioner, man kan støde på i gymnasiet.

Vores færdige tabel ser således ud:

Tabel 3

$$h(x)$$	$$h'(x)$$
$$k\cdot f(x)$$ ($$k$$ er en konstant)	$$k\cdot f'(x)$$
$$f(x)+g(x)$$	$$f'(x)+g'(x)$$
$$f(x)-g(x)$$	$$f'(x)-g'(x)$$
$$f(x)\cdot g(x)$$	$$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}$$	$$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$
$$f(g(x))$$	$$f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Vi kan se at der er kommet 3 ny rækker til (de tre nederste). De to første af de nye regler er nemme at bruge, mens der skal arbejdes lidt for at lære at bruge den sidste.

Eksempel 1

📌

Lad $$h(x)=x^4\cdot \textrm{ln}(x)$$.

Vi ser at $$h$$ har form som $$h(x)=f(x)\cdot g(x)$$ med:

$$f(x)=x^4$$
$$g(x)=\textrm{ln}(x)$$.

Vi differentierer $$f$$ og $$g$$:

$$f'(x)=4x^3$$
$$g'(x)=\frac{1}{x}$$

Ifølge tabel 3 er $$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ så derfor får vi $$$h'(x)=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^4\cdot\frac{1}{x}=4x^3\cdot \textrm{ln}(x)+\frac{x^4}{x}=4x^3\cdot\textrm{ln}(x)+x^3.$$$

Øvelse 1

📌

Bestem den afledte funktion for følgende funktioner:

$$h(x)=x^5\cdot e^x$$

$$h'(x)=5x^4\cdot e^x+x^5\cdot e^x$$
$$h(x)=\sqrt{x}\cdot 2x$$

$$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2x +2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$$

(det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)
$$h(x)=(2x+4)\cdot x^3$$

$$h'(x)=2x^3+(2x+4)\cdot 3x^2=8x^3+12x^2$$
$$h(x)=\textrm{ln}(x)\cdot x$$

$$h'(x)=\frac{1}{x}\cdot x+\textrm{ln}(x)=\textrm{ln}(x)+1$$

(det gør ikke noget hvis du ikke helt kan få det til at stemme med det endelige reducerede resultat)

Eksempel 2

📌

Lad $$h(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$$

Vi kan se at $$h(x)$$ har formen $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$, hvor:

$$f(x)=e^x$$
$$g(x)=x^2+1$$

Vi differentierer:

$$f'(x)=e^x$$
$$g'(x)=2x$$

og bruger reglen for brøker

$$$h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}=\frac{e^x\cdot (x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$$

Så

$$$h'(x)=\frac{e^x\cdot (x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$$

Øvelse 2

📌

Når man differentiere komplicerede funktioner kan der være flere måder at skrive resultatet på.

Vis at resultatet fra Eksempel 2 kan skrives på formen $$$h'(x)=\frac{x^2e^x-2xe^x+e^x}{x^4+2x^2+1}$$$

Du skal bare gange parenteserne ud og skifte lidt rundt på rækkefølgen af ledene.

Øvelse 3

📌

Differentier følgende funktioner:

$$h(x)=\frac{2x^3-x+1}{x-2}$$

$$h'(x)=\frac{4x^3-12x^2+1}{x^2-4x+4}$$
$$h(x)=\frac{2\cdot 3^x+x}{x}$$

$$h'(x)=\frac{2\ln(3)\cdot x \cdot 3^x-2\cdot 3^x}{x^2}$$
$$h(x)=\frac{2}{e^x}$$

$$h'(x)=-\frac{2}{e^x}$$
$$h(x)=\frac{\ln(x)}{x^2}$$

$$h'(x)=\frac{-2\ln(x)+1}{x^3}$$

Sammensatte funktioner

Den sidste regel i tabel 3 omhandler sammensatte funktioner. Derfor skal vi nu lære lidt om sammensatte funktioner. Har man to funktioner $$f$$ og $$g$$ kan man sætte dem sammen og få ny funktion $$f\circ g$$ (læses "f bolle g") som illustreret i følgende diagram:

Sammensat funktion

Skal man finde f.eks. $$(f\circ g)(2)$$ skal man altså først regne $$g(2)$$ og resultatet af dette sætter man så ind i forskriften for $$f$$ for at få $$(f\circ g)(2)$$.

Eksempel 3

📌

Lad $$f(x)=x^2$$ og $$g(x)=x+2$$. Vi vil regne $$(f\circ g)(3)$$.

Vi regner først $$g(3)=3+2=5$$.

Resultatet sætter vi ind i forskrifen for $$f$$:

$$f(5)=5^2=25$$

Altså er $$(f\circ g)(3)=25$$

Øvelse 4

📌

Lad $$f(x)=x^2$$ og $$g(x)=x+2$$. Bestem funktionsværdierne

$$(f\circ g)(4)$$

36
$$(g\circ f)(4)$$

18

Det fremgår altså at rækkefølgen ikke er ligegyldig når vi sammensætter funktioner.

Øvelse 5

📌

Lad $$f(x)=2x$$ og $$g(x)=\sqrt{x}$$. Bestem funktionsværdierne

$$(f\circ g)(9)$$

6
$$(g\circ f)(8)$$

4

Forskrifter for sammensatte funktioner

I stedet for at regne funktionsværdier en ad gangen er det som regel smarter at finde en forskrift for den sammensatte funktion.

Eksempel 4

📌

Lad $$f(x)=x^2$$ og $$g(x)=x+2$$. Vi vil nu finde en forskrift for $$f\circ g$$

Vi sætter forskriften for $$g$$ ind i forskriften for $$f$$: $$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2)=(x+2)^2=x^2+4x+4$$$

Altså er $$(f\circ g)(x)=x^2+4x+4$$

Øvelse 6

📌

Lad $$f(x)=x^2$$ og $$g(x)=x+2$$.

Bestem forskriften for $$g\circ f$$

$$(g\circ f)(x) = x^2+2$$

Øvelse 7

📌

Lad $$f(x)=2x$$ og $$g(x)=\sqrt{x}$$. Bestem forskrifterne for

$$f\circ g$$

$$(f\circ g)(x) = 2\cdot \sqrt{x}$$
$$g\circ f$$

$$(g\circ f)(x) =\sqrt{2x}$$

Øvelse 8

📌

Lad $$f(x)=4x^2+x-2$$ og $$g(x)=\frac{1}{2x}$$.

Bestem forskriften for $$f\circ g$$

$$(f\circ g)(x) = \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2x}-2$$

Indre og ydre funktion

Har man en sammensat funktion $$f\circ g$$ kaldes $$g$$ den indre funktion og $$f$$ den ydre.

Eksempel 5

📌

Lad $$h(x)=\ln(x^2-x)$$. Vi kan se at $$h$$ har form som en sammensat funktion $$f\circ g$$, hvor den indre funktion er $$g(x)=x^2-x$$ og den ydre er $$f(x)=\ln(x)$$,

Vi bemærker at opdelingen i indre og ydre funktion ikke er entydig. F.eks. kunne man i Eksempel 5 også sige at den indre funktion var $$g(x)=x$$ og den ydre var $$f(x)=\ln(x^2-x)$$.Så når der fremover spørges til den indre og ydre funktion menes der selvfølgelig den opdeling som giver to simple funktioner (som nemt kan differentieres).

Øvelse 9

📌

Bestem den indre og ydre funktion for følgende sammensatte funktioner

$$h(x)=\ln(3x)$$

Den indre funktion er $$g(x)=3x$$ og den ydre er $$f(x)=\ln(x)$$
$$h(x)=\sqrt{\frac{1}{x}}$$

Den indre funktion er $$g(x)=\frac{1}{x}$$ og den ydre er $$f(x)=\sqrt{x}$$
$$h(x)=3(e^x)^2-2e^x-2$$

Den indre funktion er $$g(x)=e^x$$ og den ydre er $$f(x)=3x^2-2x-2$$
$$h(x)=\frac{1}{x+1}$$

Den indre funktion er $$g(x)=x+1$$ og den ydre er $$f(x)=\frac{1}{x}$$

Differentialkvotient for sammensatte funktioner.

Vi er nu klar til at lære den sidste regel i tabellen. Reglen fortæller os at differenrentialkvotienten for den sammensatte funktion $$f\circ g$$ findes ved udtrykket: $$$f'(g(x))\cdot g'(x)$$$

Eksempel 6

📌

Vi vil differentiere funktionen $$h(x)=(2x-1)^3$$

Vi identificerer $$h$$ som værende en sammensat funktion med indre funktion $$g(x)=2x-1$$ og ydre funktion $$f(x)=x^3$$. Vi differentierer:

$$f'(x)=3x^2$$
$$g'(x)=2$$

Vi bruger nu reglen $$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$.

$$$h'(x)=3(2x-1)^2\cdot 2=6(2x-1)^2$$$

Altså

$$$h'(x)=6(2x-1)^2$$$

Eksempel 7

📌

Vi vil differentiere funktionen $$h(x)=\sqrt{x^2+x-1}$$

Vi identificerer $$h$$ som værende en sammensat funktion med indre funktion $$g(x)=x^2+x-1$$ og ydre funktion $$f(x)=\sqrt{x}$$. Vi differentierer:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$g'(x)=2x+1$$