MATHHX A

$\newcommand{\footnotename}{footnote}$ $\def \LWRfootnote {1}$ $\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\let \LWRorighspace \hspace $ $\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }$ $\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}$ $\newcommand \ensuremath [1]{#1}$ $\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } $ $\newcommand {\setlength }[2]{}$ $\newcommand {\addtolength }[2]{}$ $\newcommand {\setcounter }[2]{}$ $\newcommand {\addtocounter }[2]{}$ $\newcommand {\arabic }[1]{}$ $\newcommand {\number }[1]{}$ $\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\newcommand {\cline }[1]{}$ $\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\protect }{}$ $\def \LWRabsorbnumber #1 {}$ $\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}$ $\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}$ $\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }$ $\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }$ $\def \mathcode #1={\mathchar }$ $\let \delcode \mathcode $ $\let \delimiter \mathchar $ $\def \oe {\unicode {x0153}}$ $\def \OE {\unicode {x0152}}$ $\def \ae {\unicode {x00E6}}$ $\def \AE {\unicode {x00C6}}$ $\def \aa {\unicode {x00E5}}$ $\def \AA {\unicode {x00C5}}$ $\def \o {\unicode {x00F8}}$ $\def \O {\unicode {x00D8}}$ $\def \l {\unicode {x0142}}$ $\def \L {\unicode {x0141}}$ $\def \ss {\unicode {x00DF}}$ $\def \SS {\unicode {x1E9E}}$ $\def \dag {\unicode {x2020}}$ $\def \ddag {\unicode {x2021}}$ $\def \P {\unicode {x00B6}}$ $\def \copyright {\unicode {x00A9}}$ $\def \pounds {\unicode {x00A3}}$ $\let \LWRref \ref $ $\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }$ $ \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}$ $\require {textcomp}$ $\require {colortbl}$ $\let \LWRorigcolumncolor \columncolor $ $\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\let \LWRorigrowcolor \rowcolor $ $\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\let \LWRorigcellcolor \cellcolor $ $\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}$ $\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}$ $\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}$ $\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}$ $\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }$ $\def \LWRsiunitxdistribunit {}$ $\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}$ $\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}$ $\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}$ $\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }$ $\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }$ $\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }$ $\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}$ $\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }$ $\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}$ $\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}$ $\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}$ $\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}$ $\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}$ $\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}$ $\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}$ $\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}$ $\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}$ $\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}$ $\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}$ $\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}$ $\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}$ $\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}$ $\newcommand {\second }{\mathrm {s}}$ $\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}$ $\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}$ $\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}$ $\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}$ $\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}$ $\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}$ $\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}$ $\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}$ $\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}$ $\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}$ $\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}$ $\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}$ $\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}$ $\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}$ $\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}$ $\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}$ $\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}$ $\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}$ $\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}$ $\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}$ $\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}$ $\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}$ $\newcommand {\day }{\mathrm {d}}$ $\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}$ $\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}$ $\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}$ $\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}$ $\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}$ $\newcommand {\arcminute }{^\prime }$ $\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}$ $\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}$ $\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}$ $\newcommand {\astronomicalunit }{au}$ $\newcommand {\atomicmassunit }{u}$ $\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}$ $\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}$ $\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}$ $\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}$ $\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}$ $\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}$ $\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}$ $\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}$ $\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}$ $\let \LWRorigbar \bar $ $\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}$ $\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}$ $\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}$ $\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}$ $\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}$ $\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}$ $\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}$ $\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}$ $\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}$ $\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}$ $\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}$ $\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}$ $\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}$ $\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}$ $\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}$ $\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}$ $\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}$ $\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}$ $\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}$ $\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}$ $\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}$ $\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}$ $\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}$ $\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}$ $\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}$ $\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}$ $\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}$ $\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}$ $\newcommand {\kg }{\kilo \gram }$ $\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}$ $\newcommand {\squared }{^2}$ $\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}$ $\newcommand {\cubed }{^3}$ $\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}$ $\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}$ $\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}$ $\newcommand {\fg }{\femto \gram }$ $\newcommand {\pg }{\pico \gram }$ $\newcommand {\ng }{\nano \gram }$ $\newcommand {\ug }{\micro \gram }$ $\newcommand {\mg }{\milli \gram }$ $\newcommand {\g }{\gram }$ $\newcommand {\kg }{\kilo \gram }$ $\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}$ $\newcommand {\nm }{\nano \metre }$ $\newcommand {\um }{\micro \metre }$ $\newcommand {\mm }{\milli \metre }$ $\newcommand {\cm }{\centi \metre }$ $\newcommand {\dm }{\deci \metre }$ $\newcommand {\m }{\metre }$ $\newcommand {\km }{\kilo \metre }$ $\newcommand {\as }{\atto \second }$ $\newcommand {\fs }{\femto \second }$ $\newcommand {\ps }{\pico \second }$ $\newcommand {\ns }{\nano \second }$ $\newcommand {\us }{\micro \second }$ $\newcommand {\ms }{\milli \second }$ $\newcommand {\s }{\second }$ $\newcommand {\fmol }{\femto \mol }$ $\newcommand {\pmol }{\pico \mol }$ $\newcommand {\nmol }{\nano \mol }$ $\newcommand {\umol }{\micro \mol }$ $\newcommand {\mmol }{\milli \mol }$ $\newcommand {\mol }{\mol }$ $\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }$ $\newcommand {\pA }{\pico \ampere }$ $\newcommand {\nA }{\nano \ampere }$ $\newcommand {\uA }{\micro \ampere }$ $\newcommand {\mA }{\milli \ampere }$ $\newcommand {\A }{\ampere }$ $\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }$ $\newcommand {\ul }{\micro \litre }$ $\newcommand {\ml }{\milli \litre }$ $\newcommand {\l }{\litre }$ $\newcommand {\hl }{\hecto \litre }$ $\newcommand {\uL }{\micro \liter }$ $\newcommand {\mL }{\milli \liter }$ $\newcommand {\L }{\liter }$ $\newcommand {\hL }{\hecto \liter }$ $\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }$ $\newcommand {\Hz }{\hertz }$ $\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }$ $\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }$ $\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }$ $\newcommand {\THz }{\tera \hertz }$ $\newcommand {\mN }{\milli \newton }$ $\newcommand {\N }{\newton }$ $\newcommand {\kN }{\kilo \newton }$ $\newcommand {\MN }{\mega \newton }$ $\newcommand {\Pa }{\pascal }$ $\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }$ $\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }$ $\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }$ $\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }$ $\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }$ $\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }$ $\newcommand {\pV }{\pico \volt }$ $\newcommand {\nV }{\nano \volt }$ $\newcommand {\uV }{\micro \volt }$ $\newcommand {\mV }{\milli \volt }$ $\newcommand {\V }{\volt }$ $\newcommand {\kV }{\kilo \volt }$ $\newcommand {\W }{\watt }$ $\newcommand {\uW }{\micro \watt }$ $\newcommand {\mW }{\milli \watt }$ $\newcommand {\kW }{\kilo \watt }$ $\newcommand {\MW }{\mega \watt }$ $\newcommand {\GW }{\giga \watt }$ $\newcommand {\J }{\joule }$ $\newcommand {\uJ }{\micro \joule }$ $\newcommand {\mJ }{\milli \joule }$ $\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }$ $\newcommand {\eV }{\electronvolt }$ $\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }$ $\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }$ $\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }$ $\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }$ $\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }$ $\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }$ $\newcommand {\F }{\farad }$ $\newcommand {\fF }{\femto \farad }$ $\newcommand {\pF }{\pico \farad }$ $\newcommand {\K }{\mathrm {K}}$ $\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}$ $\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}$ $\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}$ $\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}$ $\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}$ $\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}$ $\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}$ $\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}$ $\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}$ $\let \unit \si $ $\let \qty \SI $ $\let \qtylist \SIlist $ $\let \qtyrange \SIrange $ $\let \numproduct \num $ $\let \qtyproduct \SI $ $\let \complexnum \num $ $\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}$ $\newcommand {\mleft }{\left }$ $\newcommand {\mright }{\right }$ $\newcommand {\mleftright }{}$ $\newcommand {\mleftrightrestore }{}$ $\require {gensymb}$ $\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\let \Hat \hat $ $\let \Check \check $ $\let \Tilde \tilde $ $\let \Acute \acute $ $\let \Grave \grave $ $\let \Dot \dot $ $\let \Ddot \ddot $ $\let \Breve \breve $ $\let \Bar \bar $ $\let \Vec \vec $ $\require {cancel}$ $\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}$ $\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}$ $\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}$ $\newcommand {\tcbset }[1]{}$ $\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}$ $\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}$ $\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\tcblower }{}$ $\newcommand {\tcbline }{}$ $\newcommand {\tcbtitle }{}$ $\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}$ $\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }$ $\let \midrule \toprule $ $\let \bottomrule \toprule $ $\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}$ $\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}$ $\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }$ $\newcommand {\morecmidrules }{}$ $\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }$ $\newcommand {\addlinespace }[1][]{}$ $\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }$ $\def \LWRsiunitxdecimal {.}$

1.5 Arealbestemmelse ved integralregning

Vi er nu endelig klar til at se, hvad vi kan med integralregning. Vi skal nemlig se, hvordan integralregning kan bruges til at bestemme arealer. Alt efter hvordan arealerne er placeret, skal vi bruge lidt forskellige teknikker.

Areal under ikke-negativ funktion

Vi starter med at se på situationen, hvor vi vil bestemme et areal under en ikke-negativ (dvs. positiv eller nul) funktion.

Sætning 1.5.1 (Differential- og integralregningens hovedsætning)
Lad $f$ være kontinuert funktion, som er ikke-negativ på intervallet $[a,b]$.

Lad $A$ betegne arealet af området $M$ afgrænset af linjerne $x=a$, $x=b$, førsteaksen og $f$:

Arealet $A$ er bestemt ved:

\[A = \int _a^b f(x)\, dx\]

Sætningen er umiddelbart lidt overraskende. Sådan som vi har defineret bestemte integraler, har de jo ikke noget med arealer at gøre. Men det har de så alligevel. Interessant.

Eksempel 1.5.1
Lad $f(x)=0{,}1e^x+1$. Vi vil bestemme arealet $A$ af området M, afgrænset af førsteaksen, andenaksen, funktionen $f$ og linjen med ligningen $x=3$. Vi har altså

Vi bruger sætning 1.5.1:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A & = \int _0^3 f(x)\, dx \\ & = \int _0^3 (0{,}1e^x+1)\, dx \\ & = \left [0{,}1e^x+x\right ]_0^3 \\ & = 0{,}1e^3+3-(0{,}1e^0+0) \\ & = 4{,}91 \end{align*}

Arealet af $M$ er altså $4{,}91$

Øvelse 1.5.1

Betragt området $M$ begrænset af førsteaksen, linjen $x=1$, linjen $x=2$ og funktionen med forskriften $f(x)=\frac {1}{2}x^2$:

(-tikz- diagram)

a) Bestem arealet $A$ af området $M$

Løsning 1.5.1

a) $A=\frac {7}{6}\approx 1{,}17$

Det er ikke altid, at man får en tegning af området, så man skal kunne afkode hvilket område der er tale om ud fra den sproglige beskrivelse.

Øvelse 1.5.2

Lad $M$ betegne området afgrænset af førsteaksen, linjen $x=2$, linjen $x=10$ og funktionen med forskriften $f(x)=\ln (x)$:

a) Lav en hurtig skitse af området. Hvis du ikke kan huske hvordan grafen for $\ln (x)$ ser ud... jaaah så må du jo tegne i GeoGebra
b) Bestem arealet $A$ af $M$.

Løsning 1.5.2

a)
b) $A=13{,}64$

Nogle gange skal man regne lidt for at finde grænserne til ens integral.

Eksempel 1.5.2
Lad $f(x)=\ln (x)$. Vi vil bestemme arealet af området M, afgrænset af førsteaksen, funktionen $f$ og linjen med ligningen $x=4$. Vi har altså

Vi kan se at, vi er nødt til at bestemme nulpunktet for $f$ før vi kan integrere:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} \ln (x) & =0 \\ e^{\ln (x)} & = e^0 && (\text {Vi bruger $e^x$ på begge sider})\\ x & = 1 \end{align*}

Okay, så vi skal altså have $1$ som nedre grænse i vores integral.

Vi bruger sætning 1.5.1:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A & = \int _1^4 f(x)\, dx \\ & = \int _1^4 \ln (x) \, dx \\ & = \left [x\ln (x)-x\right ]_1^4 \\ & = 4\ln (4)-4 - (1\cdot \ln (1)-1) \\ & = 2{,}55 \end{align*}

Øvelse 1.5.3

Lad $f(x)=-3x^2+12x-9$.

a) Beregn nulpunkterne for $f$.
b) Funktionen $f$ afgrænser sammen med førsteaksen et område $M$. Lav ud fra nulpunkterne og din viden om andengradspolynomier en hurtig skitse af $M$.
c) Beregn arealet $A$ af området $M$.

Løsning 1.5.3

a) $x_1=1$, $x_1=3$
b)
c) $A=4$

Nogle gange er selve arealet givet og man skal så i stedet bestemme noget andet i integralet.

Eksempel 1.5.3
Betragt arealet $A$ af området afgrænset førsteaksen, funktionen $f(x))=\frac {1}{3}x^2$, linjen $x=1$ og linjen $x=b$. Vi vil bestemme $b$ således at $A=7$. Området ser altså sådan ud:

Vi ved at arealet skal være $7$ så vi kan opstille ligningen:

\[A=7, \]

og vi kan så bruge sætning 1.5.1 til at bestemme $A$:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} \int _1^b f(x) \, dx & = 7\\ \int _1^b \frac {1}{3} x^2 \, dx & = 7\\ \frac {1}{3}\int _1^b x^2 \, dx & = 7\\ \frac {1}{3}\left [\frac {1}{3}x^3\right ]_1^b & = 7\\ \frac {1}{3}\cdot \frac {1}{3}\left [x^3\right ]_1^b & = 7\\ \frac {1}{9}(b^3-1^3) & = 7\\ b^3-1^3 & = 63\\ b^3 & = 64\\ b& = \sqrt [3]{64}\\ b& = 4 \end{align*} Altså er $b=4$.

Øvelse 1.5.4

Lad $f(x)=\sqrt {x}$ og betragt arealet afgrænset af førsteaksen, andenaksen og linjen $x=k$:

(-tikz- diagram)

a) Bestem $k$ så arealet af $M$ er $18$

Løsning 1.5.4

a) $k=9$

Øvelse 1.5.5 (Svær)

Lad $f(x)=e^{0{,}5x}$. Betragt arealet afgrænset af førsteaksen, $f$, linjen $x=k$ og linjen $x=\ln (9)$:

(-tikz- diagram)

a) Bestem $k$ således at $M$ får et areal på $2$.

Løsning 1.5.5

a) $k=\ln (4)\approx 1{,}39$

Øvelse 1.5.6

Lad $f(x)=-x^3+a\cdot x^2$ og lad $M$ betegne området afgrænset af $x$-aksen, funktionen $f$ og linjen $x=2$. Hvis $a=2$ ser $M$ således ud:

(-tikz- diagram)

a) Bestem $a$ således at arealet af $M$ er $4$.

Løsning 1.5.6

a) $a=3$

Er funktionen stykkevist defineret, kan man finde arealet ved at regne hver del for sig:

Eksempel 1.5.4
Betragt funktionen $f$ give ved

\[ f(x) = \begin {cases} 2x-1 & x\leq 2 \\ -\frac {1}{2}x+4 & x > 2 \end {cases} \]

Vi bestemmer nu arealet $A$ af området $M$, afgrænset af førsteaksen, $x=1$, $x=4$ og funktionen $f$. Altså arealet markeret her:

Funktionen skifter forskrift ved $x=2$ (se forskriften), og derfor deler vi området op i to dele:

Vi regner nu arealet $A_1$ af $M_1$
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A_1 & =\int _1^2 f(x) \, dx \\ & =\int _1^2( 2x-1) \, dx \\ & =2 && \text {(Lav selv mellemregninger)} \end{align*} Vi regner nu arealet $A_2$ af $M_2$.
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A_2 & = \int _2^4 f(x) \, dx \\ & = \int _2^4\left ( \frac {1}{2} x+4 \right )\, dx\\ & = 5 && \text {(Lav selv mellemregninger)}\\ \end{align*} Arealet af $M$ er altså $A_1+A_2= 2+5 =7$.

Øvelse 1.5.7

Lad $f$ give ved

\[ f(x) = \begin {cases} 3x^2& 0\leq x < 1\\ 4-x & x \geq 1 \\ \end {cases} \]

a) Tegn grafen for $f$ i GeoGebra.
b) Bestem arealet $A$ af området $M$ afgrænset af $f$ og førsteaksen.

Løsning 1.5.7

a)
b) $A=5{,}5$

Areal mellem to grafer

Sætning 1.5.2
Lad $f$ og $g$ være to funktioner defineret på intervallet $[a,b]$. Antag at $f>g$ og lad $A$ betegne arealet af området $M$ afgrænset af linjerne $x=a$, $x=b$, funktion $g$ og funktionen $f$:

Arealet $A$ er bestemt ved:

\[A = \int _a^b \big (f(x)-g(x)\big )\, dx\]

Bemærk at der ikke er nogen krav til hvordan funktionerne ligger i forhold til $x$-aksen. Vi kræver kun at $f$ er større end $g$.

Eksempel 1.5.5
Vi vil bestemme arealet $A$ af området $M$ mellem graferne for funktionerne $f(x)=-x^2+5x-3$ og $g(x)=-x+2$. Altså:

Vi starter med at beregne skæringspunkter mellem $f$ og $g$ som vi har lært på b-niveau. Skæringspunkterne har $x=1$ og $x=5$. Vi kan nu anvende sætning 1.5.2:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A & = \int _1^5 \big (f(x)-g(x)\big )\, dx \\ & = \int _1^5 \big (-x^2+5x-3-(-x+2)\big )\, dx\\ & = \int _1^5 (-x^2+6x-5)\, dx\\ & = \frac {32}{3} && \text {(Lav selv mellemregninger)} \end{align*}

Læg mærke til at grafen for $f$ ligger over grafen for $g$. Havde de ligget omvendt, skulle vi have integreret $g(x)-f(x)$ i stedet for $f(x)-g(x)$.

Øvelse 1.5.8

Lad $f(x)=-\frac {1}{6}x^3+4$ og $g(x)=-\frac {1}{6}x^3+x^2$. Graferne for de to funktioner afgrænser et område $M$ som har et areal $A$.

(-tikz- diagram)

a) Bestem x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem $f$ og $g$.
b) Bestem $A$.

Løsning 1.5.8

a) $x_1=-2$ og $x_2=2$
b) $A=\frac {32}{3}\approx 10{,}67$

Øvelse 1.5.9

Lad $f(x)=x^2-4x$ og $g(x)=-2x$. Graferne for de to funktioner afgrænser et område $M$ som har et areal $A$.

a) Tegn $M$ (f.eks. i GeoGebra).
b) Bestem $A$.

Løsning 1.5.9

a) Det markerede område er $M$:
b) $A=\frac {4}{3}\approx 1{,}33$

Areal over ikke-positiv funktion

Sætning 1.5.2 kan også bruges til at finde arealet over en ikke-positiv (negativ eller nul) funktion.

Eksempel 1.5.6
Vi vil regne arealet $A$ af området $M$ afgrænset af funktionen $f(x)=-\sqrt {x}$, $x$-aksen og linjerne $x=1$ og $x=4$:

Så vi kan ikke bruge sætning 1.5.1, da grafen er under $x$-aksen. Men vi kan bruge sætning 1.5.2, selvom vi umiddelbart kun har én funktion. Sætter vi $g(x)=0$, så vil grafen for $g$ ligge oven i $x$-aksen, og vi kan derfor regne arealet som et areal mellem to grafer:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A & = \int _1^4 \big (g(x)-f(x)\big )\, dx && \text {(Bemærk at $g>f$)} \\ & = \int _1^4 \big (0 - (-\sqrt {x})\big )\, dx \\ & = \int _1^4 \sqrt {x}\, dx \\ & = \frac {14}{3} && \text {(Lav selv mellemregninger)} \end{align*} Altså er $A=\frac {14}{3}$

Øvelse 1.5.10

Lad funktion $f$ være givet ved forskriften

\[f(x)=-2^x+x^2, \quad 0\leq x \leq 2\]

a) Bestem ved hjælp af GeoGebra nulpunkter for $f$.
b) Tegn grafen for $f$ i GeoGebra.
c) Bestem arealet $A$ af det område, som er afgrænset af $f$, førsteaksen og andenaksen.
d) Sammenlign dit beregnede areal med grafen i GeoGebra. Ser resultatet rimeligt ud?

Løsning 1.5.10

a) $x_1=2$.
b) Graf:
c) $A=1{,}66$
d) Ja det passer da meget godt.

Som du måske har gennemskuet er der en simplere måde at regne arealet over en negativ funktion.

Sætning 1.5.3
Lad $f$ være kontinuert funktion, som er ikke-positiv på intervallet $[a,b]$ og lad $A$ betegne arealet af området $M$ afgrænset af linjerne $x=a$, $x=b$, førsteaksen og $f$:

Arealet $A$ er bestemt ved:

\[A = - \int _a^b f(x)\, dx\]

Vi ser altså at vi kan finde arealet over en negativ funktion ved at regne det bestemte integral (som om grafen var positiv), hvis altså bare vi sætter et minus foran integralet.

Eksempel 1.5.7
Vi vender tilbage til funktionen fra eksempel 1.5.6. Vi vil altså regne arealet $A$ af området $M$ afgrænset af funktionen $f(x)=-\sqrt {x}$, $x$-aksen og linjerne $x=1$ og $x=4$:

Vi bruger sætning 1.5.3, da grafen er under $x$-aksen:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A & = - \int _1^4 f(x)\, dx \\ & = - \int _1^4 -\sqrt {x}\, dx \\ & = \int _1^4 \sqrt {x}\, dx \\ & = \frac {14}{3} && \text {(Lav selv mellemregninger)} \end{align*} Altså er $A=\frac {14}{3}$

Øvelse 1.5.11

Lad $f(x)=-0{,}2e^x-1$. Grafen afgrænser sammen med førsteaksen, andenaksen og linjen $x=2$ et område $M$:

(-tikz- diagram)

a) Regn arealet af $M$ ved hjælp af metoden fra sætning 1.5.3.

Løsning 1.5.11

a) Arealet er $3{,}28$.

Eksempel 1.5.8
Lad $f(x)=-x+4$. Vi vil bestemme arealet $A$ af området markeret her:

Vi ser at den første del af arealet er over $x$-aksen og den anden del er under, og derfor må vi regne de to dele hver for sig. Vi finder først nulpunktet
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} f(x) & =0 \\ -x+4 & = 0 \\ x &= 4 \end{align*}

Kalder vi arealet over $x$-aksen for $A_1$ og arealet under for $A_2$ får vi:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A &= A_1+A_2 \\ &= \int _{2}^{4} f(x) \, dx + \left (-\int _{4}^{8} f(x) \, dx \right ) \\ &= \int _{2}^{4} (-x+4) \, dx + \left (-\int _{4}^{8} (-x+4) \, dx \right )\\ &= \int _{2}^{4} (-x+4) \, dx -\int _{4}^{8} (-x+4) \, dx \\ &=2+8 && (\text {Regn selv efter})\\ &=10 \end{align*} Altså er arealet $10$.

Øvelse 1.5.12

Lad $f(x)=x^3-x$. Betragt arealet markeret med blå:

(-tikz- diagram)

a) Hvordan bestemmer man nulpunkter for $f$? Hvilken teknik?
b) Beregn nulpunkterne for $f$.
c) Bestem det markerede areal.

Løsning 1.5.12

a) Du skal faktorisere. Sæt $x$ ud foran en parentes og brug nulreglen.
b) $x_1=-1$, $x_2=0$ og $x_3=1$
c) Arealet er $\frac {5}{2} = 2{,}5$

Eksempel 1.5.9
Lad $f(x)=x^2-4x+5$ og $g(x)=-4x+14$. Og betragt det markerede areal:

Vi vil nu regne arealet. Vi vil gerne bruge sætning 1.5.2 (areal mellem to grafer) men vi har et problem. Sætningen forudsætter nemlig at den ene graf ligger over den anden. I dette eksempel har vi først $f>g$ og efter skæringspunkt gælder $g>f$. Vi løser problemet ved at regne de to delarealer, lad os kalde dem $A_1$ og $A_2$, hver for sig. Vi starter med at beregne skæringspunktet, hvilket giver (tjek selv):

\[x=3\]

Vi kan nu regne regne arealet sum summen af de to delarealer:
$\seteqnumber{0}{1.}{0}$
\begin{align*} A =& A_1+A_2\\ =& \int _{2}^{3} \left ( g(x)-f(x) \right ) \, dx + \int _{3}^{4} \left ( f(x) - g(x) \right ) \, dx\\ = &\int _{1}^{2} \left ( -4x+14-(x^2-4x+5) \right ) \, dx \\ & + \int _{2}^{3} \left ( x^2-4x+5-(-4x+14))\right ) \, dx\\ = & \int _{2}^{3} \left ( x^2-9 \right ) \, dx + \int _{3}^{4} \left ( -x^2+9 \right ) \, dx\\ = & \frac {8}{3}+\frac {10}{3} && (\text {Lav selv mellemregninger})\\ = & 3 \end{align*}

Øvelse 1.5.13

Lad $f(x)=x^2-6x+10$ og $g(x)=x^2-4x+6$. Og betragt det markerede område:

(-tikz- diagram)

a) Bestem arealet af det markerede område

Løsning 1.5.13

a) Arealet er $5$.

Vurdering af integral ud fra graf

Fordi vi kender betydning af et bestemt integral, både for grafer over og under x-aksen, kan vi nu bestemme en ca.-værdi for bestemte integraler alene ud fra deres graf:

Eksempel 1.5.10
Betragt funktionen

\[f(x)=4 x^2\cdot 0.5^x-2.8.\]

Det er svært at bestemme en stamfunktion til $f$, men vi kan ud fra grafen anslå værdien af forskellige bestemte integraler.

Vi vil først bestemme integralet $\int _2^4 f(x)\, dx$

Vi tegner grafen og markerer arealet mellem grafen og x-aksen i intervallet $[2;4]$

Fra sætning 1.5.3 ved vi at $\int _2^4 f(x)\, dx$ er det markerede areal. Vi tæller tern og når frem til at arealet er ca. 3. Altså er$\int _2^4 f(x)\, dx\approx 3$.

Vi vil nu vurdere værdien integralet $\int _0^1 f(x)\, dx$

Vi markerer arealet mellem grafen og x-aksen i intervallet $[0;1]$

Fra sætning 1.5.3 ved vi at $\int _0^1 f(x)\, dx$ er det markerede areal, men med et minus på. Vi tæller tern og når frem til at arealet er ca. $2$. Så skal vi bare putte et minus på. Vi får altså $\int _0^1 f(x)\, dx\approx -2$.

Til slut vil vi anslå værdien integralet $\int _0^5 f(x)\, dx$.

Vi markerer arealet mellem grafen og x-aksen i intervallet $[0;5]$:

Indskudsreglen tillader os dele integralet op i to. Først en del hvor funktionen ligger under x-aksen. Her er arealet ca. $2$ og det skal der et minus på, så det bidrager med ca. $-2$. Derefter er der en del over x-aksen og her er arealet ca. $4$, så det bidrager med $4$. I alt får vi $\int _0^5 f(x)\, dx \approx -2+4 = 2$.

Øvelse 1.5.14

Betragt funktionen $f$

(-tikz- diagram)

Vurder værdien af følgende integraler ved at tælle tern som i eksemplet ovenover.

a) $\int _0^{1{,}5} f(x) \, dx$
b) $\int _{1{,}5}^{3} f(x) \, dx$
c) $\int _{-3}^3 f(x) \, dx$
d) $\int _{3}^{1{,}5} f(x) \, dx$ (hmm nu er øvre grænse mindre end nedre, hvordan er det nu, det er med det…?)

Løsning 1.5.14

a) $\int _0^{1{,}5} f(x) \, dx\approx 1$
b) $\int _{1{,}5}^{3} f(x) \, dx \approx -1$
c) $\int _{-3}^3 f(x) \, dx \approx 0$
d) $\int _{3}^{1{,}5} f(x) \, dx \approx 1$

Øvelse 1.5.15

Ved at tegne i Geogebra og tælle tern, skal du vurdere værdien af følgende integraler:

a) $\int _{-4}^{-2} (-2 x^3 e^x-1) \, dx$
b) $\int _{-9}^{-5} (-2 x^3 e^x-1) \, dx$
c) $\int _{-5}^{-9} (-2 x^3 e^x-1) \, dx$

Løsning 1.5.15

a) $\int _{-4}^{-2} (-2 x^3 e^x-1) \, dx \approx 3$
b) $\int _{-9}^{-5} (-2 x^3 e^x-1) \, dx \approx -1$
c) $\int _{-5}^{-9} (-2 x^3 e^x-1) \, dx \approx 1$

Tilbage Næste