Harmoniske svingninger en grundlæggende funktionstype som man møder ofte i fysik. F.eks. i forbindelse med bølger.
Definition 8.3.1 En harmonisk svingning er en funktion på formen
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\]
hvor:
\(a\) er et positivt tal som kaldes amplituden
\(b\) er et positivt tal som kaldes vinkelfrekvensen,
\(c\) et tal som kaldes faseforskydningen.
Grafen for harmonisk svingning ligner grafen for sinus, borset fra den er strakt/sammenpresset i vandret og/eller lodret regning. Hvordan grafen bliver forskudt/strakt afhænger af værdien af konstanterne i definitionen.
Amplitude
Amplituden er konstanten \(a\) i den harmoniske svingning \(f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\). Vi husker, at sinus er andenkoordinaten til retningspunktet på enhedscirklen. Derfor vil sinus svinge mellem \(-1\) og \(1\). Når vi så
ganger med \(a\), kommer funktionsværdierne til at svinge mellem \(-a\) og \(a\). Så amplituden \(a\) viser altså, hvor meget grafen er strakt i lodret retning.
Eksempel 8.3.1 Betragt grafen for \(f(x)=3\cdot \sin (2x+1)\):
Amplituden for \(f\) er \(3\), så vi forventer at grafen svinger mellem \(-3\) og \(3\) på \(y\)-aksen. Vi ser det passer med grafen.
Øvelse 8.3.1
Betragt grafen for en harmonisk svingning:
a) Bestem amplituden.
Løsning 8.3.1
a) \(a\approx 1{,}5\)
Øvelse 8.3.2
Lad \(f(x)=7\cdot \sin (5x-2)\)
a) Bestem ud fra forskriften definitionsmængden for \(f\).
b) Bestem ud fra forskriften værdimængden for \(f\).
Løsning 8.3.2
a) \(\Dm (f)=\mathbb {R}\) (der er ikke nogle tal som man ikke kan sætte ind i forskriften)
b) \(\Vm (f)=[-7;7]\)
Vinkelfrekvens
Vinkelfrekvensen er konstanten \(b\) i den harmoniske svingning:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c).\]
Vinkelfrekvensen afgører, hvor hurtigt funktionen svinger. Det vil vi forklare med udgangspunkt i funktionerne:
Vi vil se på de to funktioners funktionsværdi, når \(x=\frac {\pi }{4}\). Vi tegner to enhedscirkler. En med vinklen \(x=\frac {\pi }{4}\) og en med vinklen \(2x=2\cdot \frac {\pi }{4}=\frac {\pi }{2}\):
Vi ser, at \(g\) bevæger sig dobbelt så hurtigt rundt i enhedscirklen som \(f\). Grafen for \(g\) former sig derfor som grafen for \(f\) bare dobbelt så hurtigt. Så mens perioden for \(f\) er \(2\pi \), er perioden for \(g\) kun
\(\pi \). Graferne kommer altså til at se således ud:
Man kan vise, at der gælder følgende sammenhæng mellem perioden for en harmonisk svingning og vinkelfrekvensen \(b\):
\[T=\frac {2\pi }{b}\]
Øvelse 8.3.3
Lad \(f(x)=5\cdot \sin (0{,}5x-2)\)
a) Bestem perioden for \(f\).
Løsning 8.3.3
a) Perioden er \(4\pi \)
Øvelse 8.3.4
Ud fra formlen \(T=\frac {2\pi }{b}\) kan vi bestemme en formel for \(b\) ud fra perioden.
a) Isoler \(b\) i formlen \(T=\frac {2\pi }{b}\).
Løsning 8.3.4
a) Vi ganger først med \(b\) på begge sider:
\[bT=b\frac {2\pi }{b}\]
Vi reducerer højresiden:
\[bT=2\pi \]
og deler med \(T\) på begge sider:
\[b=\frac {2\pi }{T}\]
I ovenstående øvelse fandt vi frem til formlen \(b=\frac {2\pi }{T}\). Ved hjælp af denne formlen kan vi finde \(b\), hvis vi kan bestemme perioden.
Øvelse 8.3.5
Antag, at perioden for en trigonometrisk funktion er \(8\pi \).
a) Bestem vinkelfrekvensen
Løsning 8.3.5
a) Vinkelfrekvensen er \(b=\frac {1}{4}\).
Øvelse 8.3.6 (Svær)
Man fortolke \(b\) som ”antallet af svingninger (perioder) der er på \(2\pi \)”
a) Argumenter for at det er en korrekt fortolkning.
Løsning 8.3.6
a) Formlen \(b=\frac {2\pi }{T}\) viser at \(T\) går \(b\) gange op i \(2\pi \). Hvert \(T\) svarer til en svingning, så der er altså \(b\) svingninger
på \(2\pi \).
Øvelse 8.3.7
Betragt den harmoniske svingning:
a) Bestem amplituden.
b) Bestem perioden.
c) Beregn vinkelfrekvensen ud fra formlen \(b=\frac {2\pi }{T}\) .
d) Bestem vinkelfrekvensen ved at tælle, hvor mange svingninger der på \(2\pi \).
Løsning 8.3.7
a) \(a\approx 2\)
b) \(T\approx \frac {\pi }{2}\)
c) \(b\approx 4\)
d) \(b\approx 4\)
Vær opmærksom på, at i fysik optræder der også begrebet frekvens som betegnes med \(f\). Det er noget andet end vinkelfrekvens. Man snakker om frekvens, når man har tid ud
af \(x\)-aksen. Her er viser frekvensen antallet af svingninger (perioder) på \(1\) sekund, og den kan beregnes ud fra perioden ved:
\[f=\frac {1}{T}\]
Øvelse 8.3.8 (Svær)
Frekvensen \(f\) er antallet af svingninger på \(1\) sekund.
a) Argumenter for at \(f\) kan bestemmes ved formlen \(f=\frac {1}{T}\)
Løsning 8.3.8
a) Betragt et vilkårligt tidsrum \(\Delta t\). Frekvensen angiver antallet af svingninger på et sekund, så den må være givet ved
\[f=\frac {\text {Antal svingninger i løbet af } \Delta t}{\Delta t}\]
Hvis nu vælger \(\Delta t = T\) får vi
\[f=\frac {\text {Antal svingninger på en periode}}{T}\]
men på en periode er der pr. definition \(1\) svingning, så
\[f=\frac {1}{T}\]
Øvelse 8.3.9 (Svær)
Frekvensen kan også beregnes ud fra vinkelfrekvensen \(b\). Formlen er:
\[f=\frac {b}{2\pi }\]
a) Bevis formlen. VINK: Du får brug for at inddrage formlen for vinkelfrekvens: \(T=\frac {2\pi }{b}\).
Løsning 8.3.9
a) Frekvensen \(f\) kan regnes ud fra perioden \(T\) med formlen:
\[f=\frac {1}{T}\]
Perioden kan regnes ud fra vinkelfrekvensen ved \(T=\frac {2\pi }{b}\), så det kan vi indsætte i stedet for perioden:
\[f=\frac {1}{\frac {2\pi }{b}}\]
Vi forlænger den store brøk med \(b\):
\[f=\frac {b}{2\pi }\]
Faseforskydningen
Faseforskydningen er konstanten \(c\) i den harmoniske svingning:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c).\]
Faseforskydningen forskyder grafen i vandret retning. Men forskydningen afhænger ikke kun af \(c\). Den afhænger også af \(b\). Grafen forskydes nemlig med \(\frac {c}{b}\) til venstre. Hvis \(c<0\), får vi en negativ
forskydning til venstre, hvilket selvfølgelig svarer til en positiv forskydning til højre. Så hvis f.eks. \(c=\pi \) og \(b=2\) vil grafen blive forskudt med \(\frac {c}{b}=\frac {\pi }{2}\) til venstre – altså i forhold til hvis \(c\)
var nul.
Grafer for \(f(x)=\sin (2x)\) og \(g(x)=\sin (2x+\pi )\).
Hvis \(c\) er negativ bliver grafen forskudt til højre:
Grafer for \(f(x)=\sin (x)\) og \(g(x)=\sin (x-1)\).
Læg mærke til at når faseforskydningen er nul, så går grafen igennem \((0,0)\) og starter med at være voksende, så det er udgangspunktet, når vi skal finde ud af hvor meget grafen er forskudt.
Eksempel 8.3.2 Betragt den harmoniske svingning:
Vi vil bestemme faseforskydningen. Vi skal først bestemme \(b\). Den kan vi finde ud fra perioden. Vi aflæser perioden til at være \(2\pi \). Vi indsætter \(T=2\pi \) i formlen
\[b=\frac {2\pi }{T}\]
Det giver:
\[b=1\]
Vi er nu klar til at finde faseforskydningen \(c\). Vi tegner nu den samme harmoniske svingning ind, men denne gang forskyder vi den så den starter med at være voksende igennem \((0,0)\)
Vi kan se at den blå graf er forskudt med \(\frac {\pi }{4}\) til højre i forhold til den røde. Dvs. at
\[\frac {c}{b}=-\frac {\pi }{4}\]
Læg mærke til det negative fortegn. Det er fordi det er en forskydning til højre. Vi har allerede bestemt \(b=1\):
\[\frac {c}{1}=-\frac {\pi }{4}\]
hvilket må betyde at \(c=-\frac {\pi }{4}\).
Øvelse 8.3.10
Betragt grafen for en harmonisk svingning \(f(x)=a\cdot \sin (bx +c)\).
a) Bestem amplituden
b) Bestem perioden
c) Beregn vinkelfrekvensen
d) Bestem faseforskydningen
Løsning 8.3.10
a) \(a=3\)
b) \(T=4\pi \)
c) \(b=0{,}5\)
d) \(c=-\frac {\pi }{2}\)
Øvelse 8.3.11
Betragt grafen for \(\sin (x)\) og \(\cos (x)\):
a) Vi kan se at grafen for cosinus er en forskydning af sinus. Hvor meget er grafen forskudt
b) Brug dette til at skrive forskriften for \(f(x)=\cos (x)\) på form som en harmonisk svingning \(f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\).
Løsning 8.3.11
a) Grafen for cosinus fremkommer ved en forskydning af grafen for sinus med \(\frac {\pi }{2}\) til venstre
b) \(f(x)=\sin (x+\frac {\pi }{2})\).
Som vi lærte i ovenstående øvelse er cosinus og sinus det samme bortset fra en forskydning. Derfor vil man ofte møde harmoniske svingninger udtrykt vha. cosinus i stedet for sinus. Vi holder os dog til sinus her på MATHHX:-)
Øvelse 8.3.12
Nogle bøger definerer en harmoniske svingning som en funktion på formen:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c)+d\]
Vi ser at der i denne definition er lagt en konstant \(d\) til.
a) Forklar betydningen af konstanten \(d\). Hvis du er i tvivl om, hvordan du skal afgøre det, så husk på hvad der normalt sker med grafen for en
funktion, når man lægger en konstant til.
b) Aflæs værdien af \(d\) på grafen:
c) Bestem perioden.
d) Bestem resten af konstanterne i forskriften.
e) Bestem frekvensen
Løsning 8.3.12
a) Grafen forskydes med \(d\) langs \(y\)-aksen. Er \(d\) positiv, forskydes grafen op, ellers forskydes den ned.
