AMATHHX A
7.5 Beviser - Vektorer
I de følgende øvelser skal du bevise resten af sætning 7.3.1. Du kan bruge samme fremgangsmåde som i beviset for den 1. regneregel.
I det næste bevis skal vi bruge en resultat for trekanter kaldet cosinusrelationerne. Hvis vi har en vilkårlig trekant:
så gælder
\[a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos (A)\]
Det hedder cosinusrelationerne, fordi vi kan skrive tilsvarende ligninger op for de andre sider. Vi vil ikke bevise cosinusrelationerne, så vi må håbe de er rigtige.
-
Vi starter med at tegne \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) og \(\vec {a}-\vec {b}\):
Vi regner nu \(|\vec {a}-\vec {b}|^2\) med to metoder.
Første metode: Vi bruger regnereglen: \(\vec {a}\cdot \vec {a}=|\vec {a}|^2\).
\(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)\begin{align*} |\vec {a}-\vec {b}|^2 & = (\vec {a}-\vec {b})\cdot (\vec {a}-\vec {b}) \\ & = \vec {a}\cdot \vec {a} - \vec {a}\cdot \vec {b} - \vec {b}\cdot \vec {a} + \vec {b}\cdot \vec {b}\\ & = \vec {a}\cdot \vec {a} + \vec {b}\cdot \vec {b} - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}\\ & = \textcolor {red}{|\vec {a}|^2 + |\vec {b}|^2 - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}} \end{align*}
Anden metode: Vi bruger cosinusrelationerne:
\(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)\begin{align*} |\vec {a}-\vec {b}|^2 & = \textcolor {red}{|\vec {a}|^2+ |\vec {b}|^2-2\cdot |\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)}\\ \end{align*} De to røde resultater fra de to metoder er begge lig med \(|\vec {a}-\vec {b}|^2\), derfor må de være ens:
\[ |\vec {a}|^2 + |\vec {b}|^2 - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b} = |\vec {a}|^2+ |\vec {b}|^2-2\cdot |\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)\]
Vi trækker \(|\vec {a}|^2\) og \(|\vec {b}|^2\) fra på begge sider
\[- 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}= - 2 \cdot |\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)\]
og dividerer med \(-2\) på begge sider
\[ \vec {a}\cdot \vec {b}= |\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)\]
og det var det vi ville vise.
-
Vi skal bestemme arealet \(A\) her:
Arealet af et parallelogram er givet ved grundlinje gange med højde. Vi indtegner derfor højden \(h\) på tegningen:
Som skrevet, arealet er givet ved grundlinje gange højde. Grundlinjen må være \(|\vec {a}|\) så
\[A= |\vec {a}|\cdot h\]
Vi vil nu finde et udtryk for højden. Til det formål indtegner vi et vandretlinjestykke fra øverste venstre hjørne af parallelogrammet ind til tværvektoren. Vi får så en trekant som jeg har markeret med rød. Vi tegner også \(\hat {\vec {a}}\) og vinklen mellem \(\hat {\vec {a}}\) og \(\vec {b}\).
Højden \(h\) kan vi bestemme med lidt folkeskolematematik. Vi husker, at i en retvinklet trekant, er cosinus til en vinkel lig med hosliggende katete delt med hypotenusen, så
\[\cos (v)=\frac {h}{|\vec {b}|}\]
og der med er
\[h=|\vec {b}|\cdot \cos (v).\]
Vi kan nu indsætte dette udtryk for højden i formlen for arealet
\[A= |\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)\]
Det ligner jo fuldstændigt et skalarprodukt, men det er det ikke. Vinklen \(v\) er nemlig ikke vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\). Vi udskifter nu \(|\vec {a}|\) med \(|\hat {\vec {a}}|\). Det kan vi da vi ved at \(\hat {\vec {a}}\) fremkommer ved en rotation af \(\vec {a}\) og derfor må de to vektorer være lige lange.
\[A=|\hat {\vec {a}}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos (v)\]
Nu kan vi omskrive det til et skalarprodukt. Vinklen \(v\) er nemlig vinklen mellem \(\hat {\vec {a}}\) og \(\vec {b}\), så vi kan bruge sætning 7.3.2:
\[A=\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\]
Vi skulle egenligt vise at \(A=|\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\), men ud fra vores bevis kunne det godt se ud som om, det ikke er nødvendigt at tage den nummeriske værdi. Det er lidt en snyder. Problemet er, at vi er kommet til at antage noget om vektorernes placering da vi lavede vores tegning. Vi kan se at vores tegning kun kan lade sig gøre, når vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) liger mellem \(0\) og \(90\degree \). Så lad os se hvad der sker når vinklen er større end \(90\degree \):
Vi laver nu den tilsvarende konstruktion:
Det viser sig at vi kan opskrive præcis de samme ligninger som før (tjek det). Så også her er \(A=\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\). Vi har nu dækket alle muligheder for vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\), men ud over vinklen er der også noget andet som ville give problemer med tegningen. Hvad hvis nu at der var byttet rund på \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som her:
Vi kan være snedige at bruge det vi allerede har vist, bare hvor vi har byttet rundt på \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\). Altså \(A=\hat {\vec {b}} \cdot \vec {a}\). Man kan vise (se øvelse 7.4.2) at \(\hat {\vec {b}} \cdot \vec {a}=- \hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\), så i alt giver det:
\[A=\hat {\vec {b}} \cdot \vec {a}=- \hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\]
Så alt efter vektorernes relative placering har vi altså
\[A=\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\quad \text {eller}\quad A= - \hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}\]
Vi tager nu den nummeriske værdi på begge sider i de to ligninger
\[|A|=|\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\quad \text {eller}\quad |A|= |- \hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\]
Da \(A\) er et areal er det et positivt tal, så \(|A|=A\). Vi får altså
\[A=|\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\quad \text {eller}\quad A= | \hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\]
Men det er jo bare det samme som at sige:
\[A=|\hat {\vec {a}} \cdot \vec {b}|\]