I dette afsnit skal vi se på grundlæggende regler for vinkler. Det meste burde være kendt for folkeskolen.
Definition 9.1.1 En vinkel som er mindre end \(90\degree \) kaldes spids.
En vinkel som er \(90\degree \) kaldes ret.
En vinkel som er større end \(90\degree \) kaldes stump.
Spids vinkel
ret vinkel
Stump vinkel
Læg mærke til at den rette vinkel markeres med et ”hak” i stedet for en bue.
Definition 9.1.2 To vinkler der til sammen giver \(90\degree \) kaldes komplementvinkler.
To vinkler der til sammen giver \(180\degree \) kaldes supplementvinkler.
Komplementvinkler
Supplementvinkler
Regel 9.1.1 (Ensliggende vinkler) Lad der være givet to parallelle linjer, som krydses af en tredje linje:
De to vinkler \(v\) og \(w\) er lige store. De kaldes ensliggende vinkler.
Regel 9.1.2 (Topvinkler) Lad der være givet to linjer som krydser hinanden.
De to vinkler \(v\) og \(w\) er lige store. De kaldes topvinkler.
Øvelse 9.1.1
Betragt figuren:
a) Hvilke vinkler er ensliggende?
b) Hvilke vinkler er topvinkler?
c) Hvilke vinkler er komplementvinkler?
d) Hvor mange sæt af supplementvinkler er der?
e) Hvilke vinkler er ens?
Løsning 9.1.1
a) Vinklerne \(v\) og \(u\) er ensliggende og vinklerne \(w\) og \(s\) er ensliggende.
b) Vinklerne \(r\) og \(s\) er topvinkler og vinklerne \(u\) og \(t\) er topvinkler.
c) Ingen af dem haha.
d) \((v,w),(r,u), (u,s), (s,t), (t,r)\) — altså 5 sæt.
e) Vinklerne \(v\), \(u\) og \(t\) er ens. Vinklerne \(w\), \(r\) og \(s\) er ens.
Eksempel 9.1.1 Lad der være givet to parallelle linjer, som skæres af en tredje linje.
Vi vil vise at \(v=w\). Vi indtegner en vinkel \(u\):
Da \(u\) er ensliggende med \(v\) er \(u=v\). Da \(u\) er topvinkel til \(w\) er \(u=w\). Altså må \(v=w\).
Øvelse 9.1.2
Betragt figuren:
De røde linjer er parallelle og de blå linjer er parallelle.
a) Gør rede for at \(v=w\).
Løsning 9.1.2
a) Vi indtegner to nye vinkler \(u\) og \(t\)
Vi ser at \(t=v\) da de er ensliggende. Da \(t\) og \(u\) er topvinkler er \(t=u\). Altså er \(v=u\). Da \(u\) og \(w\) er ensliggende er \(u=w\). Vi konkluderer at \(v=w\).
Sider og vinkler i trekanter
Når vi kigger på sider og vinkler i trekanter, betegner vi hver vinkel med et stort bogstav og den modstående side med det samme bogstav men som småt bogstav (f.eks. \(A\) og \(a\)):
En trekant navngivet som ovenstående kaldes ”trekant \(ABC\)”.
Regel 9.1.3 (Vinkelsummen i en trekant) Vinkelsummen i en trekant er \(180\degree \).
Øvelse 9.1.3
Antag at vi har en trekant ABC. Antag at \(A=30\degree \), \(B=20\degree \)
a) Bestem vinklen \(C\)
b) Er \(C\) spids, ret eller stump?
Løsning 9.1.3
a) \(C=130\degree \)
b) \(C\) er stump.
Øvelse 9.1.4
Betragt figuren:
De røde linjer står vinkelret på den blå, og de grønne linjer står vinkelret på den orange.
a) Gør rede for at \(v=90\degree -i\).
b) Gør rede for at \(w=b\)
c) Gør rede for at \(u=90\degree -b\)
d) Gør redet for at \(t=b\).
e) Lav en tegning af figuren, hvor du udtrykker alle vinklerne ved \(i\) og \(b\).
Løsning 9.1.4
a) Da den røde linje står vinkelret på den blå, må \(i\) og \(v\) være komplementvinkler. Dvs. \(i+v=90\degree \), så \(v=90\degree -i\).
b) Betragt vinklen \(x\) til højre i figuren:
Vinklen må være komplementvinkel til \(b\), da det orange linjestykke står vinkelret på det grønne. Men \(x\) må også være komplementvinkel til \(w\), da det røde linjestykke står vinkelret på det det blå. Derfor gælder
c) \(u=90\degree -b\), da vinkelsummen i trekanten er \(180\degree \) og \(w=b\).
d) \(t=i\), da vinkelsummen i trekanten er \(180\degree \) og \(v=90\degree - i\).
e)
I skal nu regne en øvelse som er relevant når man skal se på bevægelse på et skråplan i fysik. Jeg håber ikke I synes, at vi er ude på et skråplan med sådan en øvelse.
Øvelse 9.1.5
Betragt figuren:
Bogstavet \(\theta \) er det græske ”theta”.
a) Gør rede for at den grønne vinkel er \(\theta \).
Løsning 9.1.5
a) Vi tilfølger nogle vinkler:
Den blå vinkel må være \(90\degree -\theta \), da vinkelsummen i trekant 1 skal være \(180\degree \).
Den røde vinkel må være \(90\degree -\theta \), da den er topvinkel til den blå.
Den grønne vinkel må være \(\theta \), da vinkelsummen i trekant 2 skal være \(180\degree \) og den røde vinkel er \(90\degree -\theta \) (og den sidste vinkel er \(90\degree \), da den er topvinkel til den rette vinkel
overfor).
Altså:
Regel 9.1.4 To trekanter kaldes ensvinklede eller ligedannede, hvis de har de samme vinkler:
De sider (i hver sin trekant), der ligger over for samme vinkel, kaldes ensliggende (f.eks. \(a_1\) og \(a_2\)).
I ensliggende trekanter er forholdet mellem ensliggende sider er konstant. Dvs.
Vi ser at de to trekanter er ensvinklede fordi de to vinkler op til det punkt, hvor trekanterne mødes er topvinkler. Da vinkelsummen er \(180\degree \) og de trekanter er retvinklede, må de sidste vinkler også være ens.
Vi kan regne siden \(a\) at udnytte at forholdet mellem ensliggende sider er konstant:
\[\frac {4}{8}=\frac {a}{16}\]
Vi ganger med \(16\) på begge sider:
\[16\cdot \frac {4}{8}=a\]
Dvs. \(a=8\).
Øvelse 9.1.6
En dame vil måle afstanden til månen hun holder en lineal ud i strakt arm. Afstanden fra øje til lineal er \(\qty {60}{cm}\), månens radius er \(\qty {1737{,}4}{km}\) og hun måler månen til at være \(\qty {5{,}5}{mm}\)
bred på linealen.
a) Omregn alle størrelser til meter.
b) Hvilken regel i dette afsnit skal du have fat i, hvis du vil regne afstanden til månen?
c) Regn afstanden til månen.
Løsning 9.1.6
a) Øje til lineal: \(\qty {60}{cm}=\qty {0{,}6}{m}\)
månens radius: \(\qty {1737{,}4}{km}=\qty {1737400}{m}\)
månen på lineal: \(\qty {5{,}4}{mm}=\qty {0{,}0054}{m}\)
b) Det er reglen om ensvinklede trekanter.
c) Afstanden er omkring \(\qty {380.000 }{km}\). Hvis du har fået det halve er det måske fordi du har glemt at det er diameteren og ikke radius som
udgør den ene side i den store trekant.
Ekstra
Her er liiige et par ekstra regler du får brug for i de kommende ekstraafsnit.
Regel 9.1.5 En ligebenet trekant er en trekant med to lige lange sider.
Her er de to vinkler \(v\) og \(w\) altid lige store. Vinklerne \(v\) og \(w\) kaldes grundvinklerne.
Har man omvendt en trekant med to ens vinkler, ja så er den også ligebenet. Dvs., at hvis \(v=w\), så er \(d_1=d_2\):
Regel 9.1.6 En trekant kaldes ligevinklet, hvis alle trekantens vinkler er ens. En trekant kaldes ligesidet, hvis alle sider er ens.
En ligevinklet trekant er altid ligesidet og en ligesidet trekant er altid ligevinklet.