MATHHX A

MATHHX A

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

2.3 Separation af de variable

Separation af de variable er en metode, man kan bruge til at løse differentialligninger på formen

\[y'=h(x)\cdot g(y)\]

Fuldstændige løsninger ved separation

Ligesom man kan lave integration ved substitution på to måder, med en teknik eller en formel, så kan man tilsvarende lave separation af de variable med en teknik eller en formel. Vi vil først se på ”teknikken”.

  • Eksempel 2.3.1
    Vi vil bestemme den fuldstændige løsning til ligningen:

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2}\quad , \quad y\neq 0\]

    Vi ser at ligningen har form som \(y'=h(x)\cdot g(y)\) og derfor kan vi bruge metoden separation af de variable til at finde den fuldstændige løsning. Vi starter med at omdøbe differentialkvotienten til \(\frac {dy}{dx}\):

    \[\frac {dy}{dx}=2x\cdot \frac {1}{3y^2}\]

    Tricket er nu, at samle alt det som har med \(x\) at gøre på den ene side, og alt det som har med \(y\) at gøre på den anden. Vi starter med at gange med \(3y^2\)

    \[3y^2\frac {dy}{dx}=2x,\]

    hvorefter vi nu ganger med \(dx\) på begge sider (her ”leger” vi altså også at differentialkvotienten er en brøk):

    \[3y^2\, dy=2x \, dx\]

    Vi har nu separeret variablene, dvs. alt med \(y\) er på den ene side af lighedstegnet og alt med \(x\) er på den anden. Vi integrerer på begge sider:

    \[\int 3y^2\, dy= \int 2x \, dx,\]

    hvilket giver

    \[y^3+c_1=x^2+c_2\]

    Vi trækker \(c_1\) fra på begge sider:

    \[y^3=x^2+c_2-c_1,\]

    og samler de to konstant i en \(c=c_2-c_1\):

    \[y^3=x^2+c\]

    Vi tager nu den tredje rod på begge sider:

    \[y=\sqrt [3]{x^2+c}\]

Normalt vil man ikke skrive så mange detaljer som i ovenstående eksempel. Man bliver hurtigt træt af at først skrive de to konstanter \(c_1\) og \(c_2\) for så senere at samle dem som en enkelt konstant \(c\). Hvorfor ikke bare starte med en enkelt konstant? Vi kan også finde på at gøre flere ting på en gang når vi separere variablene. Ville vi skrive eksemplet mere kompakt, kunne det altså se således ud:

  • Eksempel 2.3.2
    Vi vil bestemme den fuldstændige løsning til ligningen:

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2}\quad , \quad y\neq 0\]

    Vi bruger separation af de variable. Vi har:

    \[\frac {dy}{dx}=2x\cdot \frac {1}{3y^2}\]

    Vi ganger med \(3y^2\) og \(dx\) på begge sider og integrerer:

    \[\int 3y^2\, dy= \int 2x \, dx,\]

    hvilket giver

    \[y^3=x^2+c\]

    Vi tager nu den tredje rod på begge sider:

    \[y=\sqrt [3]{x^2+c}\]

Øvelse 2.3.1

  • a) Bestem den fuldstændige løsning til ligningen

    \[y'=2x\cdot y^2\]

Løsning 2.3.1

  • a) \(y=\frac {1}{c-x^2}\) måske har I \(y=\frac {1}{-c-x^2}\) eller \(y=-\frac {1}{c+x^2}\). Det er også i orden.

Metoden har de nogle af de samme problemer som substitutionsmetoden vi så i afsnittet om integration ved substitution (vi behandler \(dx\) og \(dy\) som størrelser vi kan regne på). Det er ikke noget man som almindelig elev behøver at bekymre sig om, men hvis man er generet af argumentationen i eksemplerne, så kan man vælge at bruge en formel i stedet for:

  • Eksempel 2.3.3
    Vi vil igen bestemme den fuldstændige løsning til ligningen:

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2} \quad , \quad y\neq 0\]

    Denne gang vil vi bruge en formel. Ligningen har form som \(y'=h(x)\cdot g(y)\), med \(h(x)=2x\) og \(g(y)= \frac {1}{3y^2}\). Ifølge tabel 2.1 er den fuldstændige løsning givet ved

    \[\int \frac {1}{g(y)}\, dy = \int h(x)\, dx.\]

    Vi indsætter forskrifterne for \(g\) og \(h\) i formlen

    \[\int \cfrac {1}{ \frac {1}{3y^2}}\, dy = \int 2x\, dx,\]

    og reducerer (I kan vel jeres brøkregneregler, right?)

    \[\int 3y^2\, dy = \int 2x\, dx,\]

    Vi integrerer og får:

    \[y^3=x^2 +c,\]

    hvilket giver:

    \[y=\sqrt [3]{x^2+c}\]

Man bestemmer selv om man bruger teknikken eller formlen, men i det efterfølgende vil jeg tage udgangspunkt i formlen.

Øvelse 2.3.2

  • a) Bestem den fuldstændige løsning til ligningen \(y'=e^x\cdot e^{-y}\). Brug formlen, hvis du kan.

Løsning 2.3.2

  • a) \(y=\ln (e^x+c)\)

Nogle gange skal man omskrive ligningen lidt for at kunne bruge formlen.

  • Eksempel 2.3.4
    Vi vil finde den fuldstændige løsning til ligningen:

    \[y'=\frac {2x}{3y^2}\]

    Vi omskriver ligningen så den har formen \(y'=h(x)\cdot g(y)\):

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2}\]

    Vi genkender nu ligningen fra eksempel 2.3.3, så resten kan regnes som i eksempel 2.3.3.

Øvelse 2.3.3

  • a) Regn ovenstående eksempel færdigt. Hvis det er helt klart for dig, hvordan det skal gøres, så spring øvelsen over.

Løsning 2.3.3

  • a) \(y=\sqrt [3]{x^2+c}\)

Øvelse 2.3.4

  • a) Bestem den fuldstændige løsning til ligningen \(y'e^{2y}=3x\)

Løsning 2.3.4

  • a) \(y=\frac {1}{2}\ln (3x^2+c)\). Måske har du \(y=\frac {1}{2}\ln (3x^2+2c)\), hvilket også er i orden.

For at kunne bruge formlen for separation af de variable er det nødvendigt at ligningen har formen \(y'=h(x)\cdot g(y)\), men der er ingen som siger at \(h(x)\) eller \(g(y)\) ikke må være konstante funktioner.

  • Eksempel 2.3.5
    Vi vil finde den fuldstændige løsning til ligningen \(y'=\sqrt {y}\). Vi ser at ligningen har form som \(y'=h(x)\cdot g(y)\) med \(h(x)=1\) og \(g(y)=\sqrt {y}\) Løsningen er givet ved:

    \[\int \frac {1}{g(y)}\, dy = \int h(x)\, dx.\]

    Vi indsætter \(h(x)\) og \(g(y)\):

    \[\int \frac {1}{\sqrt {y}}\, dy = \int 1\, dx.\]

    Da \(\frac {1}{\sqrt {y}}=y^{-\frac {1}{2}}\) kan vi skrive det som

    \[\int y^{-\frac {1}{2}}\, dy = \int 1\, dx.\]

    Vi integrere

    \[\frac {1}{-\frac {1}{2}+1}y^{-\frac {1}{2}+1}=x+c\]

    Vi reducerer

    \[2y^{\frac {1}{2}}=x+c\]

    Det er det samme som at

    \[2\sqrt {y}=x+c\]

    Så det må betyde at

    \[y=(\frac {1}{2}x+\frac {1}{2}c)^2\]

    Da \(c\) kan være hvad som helst, er der ingen grund til at skrive \(\frac {1}{2}c\). Vi kan bare skrive \(c\). Så får vi

    \[y=(\frac {1}{2}x+c)^2\]

Partikulære løsninger ved separation

I udgangspunktet er der ikke noget nyt her. Skal man finde en partikulær løsning, starter man med en fuldstændig løsning, hvorefter man udnytter, at funktionen skal opfylde noget bestemt:

  • Eksempel 2.3.6
    Betragt differentialligningen

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2} \quad , \quad y\neq 0\]

    Vi vil nu bestemme den løsning \(f\) som opfylder \(f(4)=2\) Vi bruger formlen for separation af de variable og får

    \[\int \cfrac {1}{ \frac {1}{3y^2}}\, dy = \int 2x\, dx,\]

    og reducerer:

    \[\int 3y^2\, dy = \int 2x\, dx,\]

    hvilket giver

    \[y^3=x^2+c\]

    Vi tager nu den tredje rod på begge sider:

    \[y=\sqrt [3]{x^2+c}\]

    Vi skal nu bestemme \(c\). Det er nemmest at tage udgangspunkt i mellemregningen \(y^3=x^2+c\). Da \(f(4)=2\) kan vi indsætte \(x=4\) og \(y=2\) i ligningen.

    \[2^3=4^2+c,\]

    hvilket giver \(c=-8\) Altså er vores partikulære løsning givet ved:

    \[f(x)=\sqrt [3]{x^2-8}\]

Øvelse 2.3.5

Lad:

\[y^{-2}y'=x\quad , \quad y>0\]

  • a) Bestem den fuldstændige løsning.

  • b) Bestem den partikulære løsning som går igennem punktet \((2,1)\)

Løsning 2.3.5

  • a) \(y=\frac {1}{c-\frac {1}{2}x^2}\)

  • b) \(y=\frac {-2}{x^2-6}\). Måske har du \(y=\frac {1}{3-\frac {1}{2}x^2}\), hvilket også er ok.

Desværre kan det godt være lidt mere kompliceret at finde den rigtige partikulære løsning, da vi kan risikerer at få flere muligheder når vi bestemmer den fuldstændige løsning:

  • Eksempel 2.3.7
    Betragt ligningen

    \[y'= \frac {x^2}{2y} \quad , \quad y < 0\]

    Vi vil gerne finde den partikulærer løsning som opfylder \(f(3)=-5\). Vi omskriver først ligningen så den har form som et produkt:

    \[y'=x^2\cdot \frac {1}{2y}.\]

    Vi bruger formlen for separation af de variable og får

    \[\int \cfrac {1}{ \frac {1}{2y}}\, dy = \int x^2\, dx,\]

    og reducerer:

    \[\int 2y\, dy = \int x^2\, dx,\]

    Vi integrerer:

    \[y^2=\frac {1}{3}x^3 +c,\]

    hvilket giver:

    \[y=\pm \sqrt {\frac {1}{3}x^3 +c}.\]

    Vi kan se at der er to muligheder for \(y\). Den er enten er positiv eller negativ. I selve differentialligningen har vi forudsat at \(y<0\), så det er altså den negative løsning vi skal have fat i.

    \[y=-\sqrt {\frac {1}{3}x^3 +c}.\]

    Vi indsætter nu punktet \(x=3\) og \(y=-5\) i ligningen \(y^2=\frac {1}{3}x^3 +c\):

    \[(-5)^2=\frac {1}{3}3^3 +c,\]

    og reducerer:

    \[25=9+c,\]

    Det ses at \(c=16\), så vi har altså:

    \[f(x)=-\sqrt {\frac {1}{3}x^3 + 16}.\]

I eksemplet ovenover har vi forudsat at \(y<0\) og derfor ved vi vi skal have den negative løsning. Men vi kunne også se dette ud fra kravet \(f(3)=-5\). Her ser vi nemlig at vi skal have en negativ y-værdi når \(x=3\). Det kan vi kun få med den negative løsning.

Øvelse 2.3.6

Betragt differentialligningen

\[y'=\frac {e^x}{y}\]

  • a) Bestem den partikulære løsning som opfylder \(f(0)=-4\)

Løsning 2.3.6

  • a) \(y=-\sqrt {2e^x+14}\)

  • Eksempel 2.3.8
    Betragt ligningen

    \[y'=x^2\cdot y, \qquad y\neq 0\]

    Vi vil bestemme den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet \((0,1)\). Vi benytter separation af de variable:

    \[\frac {dy}{dx}=x^2\cdot y\]

    Vi indsætter i formlen for separation af de variable

    \[ \int \frac {1}{y}\, dy=\int x^2\, dx.\]

    Vi slår stamfunktionerne op og får

    \[\ln |y|=\frac {1}{3}x^3 +c.\]

    Vi bruger den naturlige eksponentialfunktion på begge sider:

    \[|y|=e^{\frac {1}{3}x^3 +c},\]

    hvilket må betyde at

    \[y=\pm e^{\frac {1}{3}x^3 +c},\]

    Vi har ikke forudsat noget om hvorvidt \(y\) er positiv eller negativ, men da grafen skal gå igennem punktet \((0,1)\) er det kun den positive løsning der duer:

    \[y=e^{\frac {1}{3}x^3 +c}.\]

    Vi indsætter nu punktet \((0,1)\) i ligningen \(\ln |y|=\frac {1}{3}x^3 +c\)

    \[\ln |1|=\frac {1}{3}0^3 +c,\]

    hvoraf vi kan se, at \(c=0\). Vi har derved vores partikulære løsning:

    \[f(x)=e^{\frac {1}{3}x^3}.\]

Øvelse 2.3.7

Betragt ligningen

\[y'=(y+5)(x+2)\]

  • a) Bestem den partikulære løsning som opfylder \(f(0)=1\)

  • b) Bestem den partikulære løsning som opfylder \(f(0)=-1\)

Løsning 2.3.7

  • a) \(y=6e^{\frac {1}{2}x^2+2x}-5\). Måske har I \(y=e^{\frac {1}{2}x^2+2x + \ln (6)}-5\), hvilket også er ok.

  • b) \(y=4e^{\frac {1}{2}x^2+2x}-5\). Måske har I \(y=e^{\frac {1}{2}x^2+2x + \ln (4)}-5\), hvilket også er ok.

Du skal nu bestemme om du vil spise den røde eller den blå pille. Vil du spise den røde hopper du direkte til ekstraafsnittet. Ellers regner du følgende opgave.

Øvelse 2.3.8

Find den partikulære løsning til...

  • a) ligningen: \(y'=\frac {6x^2}{y}\), hvor \(f(2)=-4\)

  • b) ligningen: \(y'=4-y\), hvor \(f\) skal gå igennem \((0,-7)\)

  • c) ligningen: \(y'=4x\sqrt {y}\), hvor \(f(1)=4\)

Løsning 2.3.8

  • a) \(y=-2\sqrt {x^3-4}\) eller måske har du \(y=-\sqrt {4x^3-16}\), hvilket også er ok.

  • b) \(y=-11e^{-x}+4\)

  • c) \(y=x^4+2x^2+1\)

Ekstra

Der er en detalje, jeg har sprunget over. Når man løser en differentialligning, bør man også angive definitionsmængden, og den skal være et åbent interval. Mere præcist, skal definitionsmængden være det størst mulige interval, som indeholder det punkt (eller de punkter), som løsningen kræves at gå igennem. Både ligningen og løsningen skal være defineret i hele intervallet.

  • Eksempel 2.3.9
    Vi vil bestemme definitionsmængden for løsningen i eksempel 2.3.6. Vi har ligningen:

    \[y'=2x\cdot \frac {1}{3y^2} \quad , \quad y\neq 0\]

    og vi fandt løsningen:

    \[f(x)=\sqrt [3]{x^2-8}\]

    Vores ligning er ikke defineret i \(y=0\), hvilket betyder at løsningen heller ikke er defineret når \(y=0\). For at finde det sted sætter vi \(f(x)=0\)

    \[\sqrt [3]{x^2-8}=0\]

    En rod er nul når indmaden er nul, så:

    \[x^2-8=0\]

    Dvs.

    \[x=\pm \sqrt {8}\]

    Altså er løsningen ikke defineret i \(x=\pm \sqrt {8}\). Hvis definitionsmængen skal være et interval giver det altså tre mulige definitionsmængder.

    • 1. \(\Dm (f)=]-\infty , - \sqrt {8}[\)

    • 2. \(\Dm (f)=]-\sqrt {8}, \sqrt {8}[\)

    • 3. \(\Dm (f)=]\sqrt {8},\infty [\)

    Vi husker at løsningen skulle opfylde \(f(4)=2\), så derfor skal \(4\) ligge i definitionsmængden. Altså er definitionsmængden:

    \[\Dm (f)=]\sqrt {8},\infty [\]

    Alt i alt skriver vi facit som:

    \[f(x)=\sqrt [3]{x^2-8}\quad , \quad x>\sqrt {8}\]

Øvelse 2.3.9

Find den partikulære løsning, inklusiv definitionsmængde, til...

  • a) ligningen: \(y'=\frac {6x^2}{y}\), hvor \(f(2)=-4\)

  • b) ligningen: \(y'=4-y\), hvor \(f\) skal gå igennem \((0,-7)\)

  • c) ligningen: \(y'=4x\sqrt {y}\), hvor \(f(1)=4\)

  • d) ligningen: \(y'=\frac {-2xy}{1-x^2}\), hvor \(f\) skal gå igennem \((0,1)\)

Løsning 2.3.9

  • a) \(y=-2\sqrt {x^3-4}\quad , \quad x>\sqrt [3]{4}\)

  • b) \(y=-11e^{-x}+4 \quad , \quad x \in \mathbb {R}\)

  • c) \(y=x^4+2x^2+1\quad , \quad x\in \mathbb {R}\)

  • d) \(y=-x^2+1\quad , \quad -1<x<1\)