Med enhedscirklen i baglommen er vi nu klar til at indføre de trigonometriske funktioner.
Definition 8.2.1 Lad \(v\) være en vinkel med retningspunkt \(R_v\).
Cosinus til \(v\) defineres som førstekoordinaten til \(R_v\) og betegnes \(\cos (v)\).
Sinus til \(v\) defineres som andenkoordinaten til \(R_v\) og betegnes \(\sin (v)\).
Tangens til \(v\) defineres som forholdet \(\frac {\sin (v)}{\cos (v)}\) og betegnes \(\tan (v)\). Dette gælder selvfølgelig kun hvis \(\cos (v)\neq 0\). Ellers er tangens udefineret.
Cosinus og sinus kan illustreres således:
Eksempel 8.2.1 Vi vil bestemme cosinus, sinus og tangens til vinklen på tegningen oven over. Det er svært at se de præcise koordinater til retningspunktet ud fra tegningen, men det ser ud til at cosinus og
sinus har samme værdi og at den værdi ligger mellem \(\frac {1}{2}\) og \(1\). Skal vi sige \(0{,}7\)? Altså
Man kan bruge en computer til at bestemme de præcise værdier for cosinus, sinus og tangens, men til at starte med, er det fint at aflæse for at få forståelse på plads.
Øvelse 8.2.1
Bestem cosinus, sinus og tangens til følgende vinkler.
a) \(v=\pi \)
b) \(v=-2\pi \)
c) \(v=135\degree \) (bare sådan ca.)
d) \(v=-2\) (bare sådan ca.)
e) \(v=90\degree \)
Løsning 8.2.1
a) \(\cos (\pi )=-1\), \(\sin (\pi )=0\) og \(\tan (\pi )=0\)
b) \(\cos (-2\pi )=1\), \(\sin (-2\pi )=0\) og \(\tan (-2\pi )=0\)
c) \(\cos (135\degree ) \approx -0{,}7\), \(\sin (135\degree ) \approx 0{,}7\) og \(\tan (135\degree ) \approx -1\)
e) \(\cos (90\degree )=0\), \(\sin (90\degree )=1\) og tangens er ikke defineret (hvorfor?).
Cosinus, sinus og tangens som funktioner
Til enhver vinkel \(v\) kan vi bestemme cosinus til \(v\). Vi kan derfor tænke på cosinus som en funktion, nemlig den funktion som til ethvert \(x\) knytter \(\cos (x)\), dvs. funktionen med forskriften \(f(x)=\cos (x)\).
Grunden til vi skriver \(x\) i stedet for \(v\) er at vi gerne vil tænke på cosinus som en almindelig funktion og her plejer vi at kalde variablen for \(x\). Lad os undersøge, hvordan grafen ser ud. Vi tegner grafen ved at lave et
sildeben. Vi finder funktionsværdierne ud fra enhedscirklen. Vi starter med \(x=0\). Altså en vinkel på \(0\).
Vi kan se at retningspunktet for vinklen \(x=0\) har en førstekoordinat på \(1\). Altså er \(\cos (0)=1\) og dermed er \(f(0)=1\) (husk at vi tegner grafen for \(f(x)=\cos (x)\)). Der er ikke noget nyt her. Det er præcis som
den øvelse I lige har regnet. Det skriver vi ind i et sildeben:
Vi tager lige en til. Vi vælger vinklen på \(x=\frac {\pi }{4}\):
Vi aflæser førstekoordinaten til retningspunkt for vinklen \(x=\frac {\pi }{4}\) til at være \(x\approx 0{,}7\), hvilket vi sætter ind i sildebenet. Sådan forsætter vi rundt i enhedscirklen, hvilket giver os:
Vi ser at det sidste punkt ligger med samme funktionsværdi (\(y\)-værdi ) som det første. Det er fordi at vi ved \(x=2\pi \) er nået en helt gang rundt i cirklen og defor starter vi forfra med de samme funktionsværdier. Tegner vi
endnu et punkt ind, ved \(x=2\pi +\frac {\pi }{4}=\frac {9\pi }{4}\), får vi:
Vi kan se at dette punkt har samme funktionsværdi som det andet punkt. Sådan kan vi blive ved:
Vi kan se at den røde del af grafen er en nøjagtig kopi af den sorte del. En funktion, som gentager sig selv på den måde, siges at være periodisk. Det stykke, man skal gå ud, før at funktion gentager sig selv, kaldes
perioden. Vi kan se at cosinus er periodisk med periode \(T=2\pi \). Grafen kan selvfølgelig udvides mere – også i negativ retning:
Øvelse 8.2.2
Nu er det din tur til at tegne grafer med papir og blyant som beskrevet ovenover.
a) Tegn grafen for sinus i intervallet \([0;2\pi ]\).
b) Tegn grafen tangens i intervallet \([0;2\pi ]\). Den her er lidt svær. Du får brug for mange støttepunkter. Det kan være en hjælpe at overveje,
hvordan grafen må opfører sig, når \(x\) er tæt på \(\frac {\pi }{2}\) eller \(\frac {3\pi }{2}\).
Løsning 8.2.2
a)
\(f(x)=\sin (x)\)
b)
\(f(x)=\tan (x)\)
Øvelse 8.2.3
a) Argumenter for at sinus er periodisk og kom med et bud for perioden. Få hjælp fra din tegning af grafen.
b) Argumenter for at tangens er periodisk og kom med et bud for perioden. Få hjælp fra din tegning af grafen.
Løsning 8.2.3
a) Perioden for sinus er \(2\pi \)
b) Perioden for tangens er \(\pi \).
Trigonometriske regneregler
Ligesom der er f.eks. potensregneregler er der regneregler for trigonometriske funktioner. Der er virkelig mange af dem, se bare her. Lad os se på nogle eksempler fra en STX fysikbog:
\[\cos (90\degree -v ) = \sin (v)\]
Formler som ovenstående kaldes overgangsformler. Dem er der en masse af. Her er en anden regneregel fra samme bog:
\[\sin (2v)=2\cdot \sin (v\cos (v)\]
Denne regel er et eksempel på en dobbeltvinkelformel. Dem er der også flere af. Her er der en overgangsformel som er god at kunne når man skal lave trigonometri:
\[\sin (v)=\sin (180\degree -v)\]
Det er sjældent I får brug for dem (mens I går på HHX) og derfor er det ikke regler, I behøver at gå og huske.
Øvelse 8.2.4 (Svær)
I skal nu prøve at kontrollere at \(\cos (90\degree -x ) = \sin (x)\).
a) Tegn en enhedscirkel
b) Tegn en vilkårlig vinkel \(x\) (men ikke \(45\degree \)) ind i cirklen. I kan f.eks. vælge \(55\degree \).
c) Tegn nu \(90\degree -x\) ind cirklen.
d) Marker nu \(\cos (90\degree -x )\) med stiplede linjer og \(\sin (x)\) på din tegning.
e) Aflæs nu \(\cos (90\degree -x )\) og \(\sin (x)\). Er de ens?
Løsning 8.2.4
a)
b)
c)
d)
e) De er begge ca. \(0{}8\). Det fremgår af symmetrien i tegningen at de er ens.
Øvelse 8.2.5
Man kan vise at \(\sin (30\degree )=\frac {1}{2}\) og \(\cos (30\degree )=\frac {\sqrt {3}}{2}\).
a) Brug dobbeltvinkelformlen \(\sin (2x)=2\cdot \sin (x)\cos (x)\) til at regn \(\sin (60\degree )\).
Løsning 8.2.5
a) \(\sin (60\degree )=\frac {\sqrt {3}}{2}\)
Ekstra
Mere formelt er en periode for en funktion \(f\) et tal \(T\), forskelligt fra nul, som opfylder:
alle er perioder for sinus og cosinus. Det mindste ikke-negative tal \(2\pi \) kaldes den den fundamentale periode. Her på MATHHX mener vi altid ”den fundamentale periode”, når vi skriver ”periode”.
