MATHHX A
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
9.3 Vilkårlige trekanter
De sætninger vi brugte i sidste afsnit gælder kun i retvinklede trekanter. Har man en trekant der ikke er retvinklet, skal der skrappere midler til. I stedet for sætningen med sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant
har vi nu to sætninger: cosinus- og sinusrelationerne.
-
Eksempel 9.3.1
Antag at vi har en trekant ABC, hvor \(a=7\), \(b=9\) og \(C=120\degree \).
Vi vil bestemme \(c\).
Vi bruger cosinusrelationerne:
\(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)
\begin{align*}
c^2 & = a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (C)\\ & =7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot \cos (120\degree )\\ & = 193
\end{align*}
Vi finder nu \(c\) ved at tage kvadratroden af \(193\):
\[c=\sqrt {193}=13{,}89\]
Det eksempel vi lige har set, var en nem anvendelse af cosinusrelationerne. Skal man finde en vinkel skal der arbejdes lidt mere
-
Eksempel 9.3.2
Vi vil bestemme vinkel \(A\) i ovenstående eksempel. Vi starter med cosinusrelationen, hvor \(A\) indgår:
\[ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos (A)\]
Vi isolerer nu \(\cos (A)\). Først lægger vi \(2\cdot b\cdot c\cdot \cos (A)\) til på begge sider og trækker samtidig \(a^2\) fra på begge sider:
\[2\cdot b\cdot c\cdot \cos (A)=b^2+c^2-a^2\]
Vi deler nu med \(2\cdot b\cdot c\) på begge sider:
\[\cos (A)=\frac {b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}\]
Vi kan nu indsætte værdierne fra sidste eksempel (\(a=7\), \(b=9\) og \(c=13{,}89\)):
\[\cos (A)=\frac {9^2+13{,}89^2-a^2}{2\cdot 9\cdot 13{,}89}\]
Vi taster på lommeregner (jeg har tastet \(13{,}89\) som \(\sqrt {193}\), da det er mere præcist)
\[\cos (A)=0{,}8998\]
Vi tager \(\cos ^{-1}\) på begge sider og
\[A=\cos ^{-1}(0{,}899770)\]
Vi taster i GeoGebra og får:
\[A=25{,}87\degree \]
Øvelse 9.3.1
Du skal nu regne trekanten fra de to ovenstående eksempler færdig.
Øvelse 9.3.2
Antag, at vi har en trekant \(ABC\) med sider \(a=4\), \(b=5\) og \(c=6\).
-
a) Bestem vinkel \(A\)
-
b) Bestem vinkel \(B\)
-
c) Bestem vinkel \(C\)
Løsning 9.3.2
-
a) \(A=41{,}41\degree \)
-
b) \(B=55{,}77\degree \)
-
c) \(C=82{,}82\degree \)
Generel skal man kende tre størrelser (sider eller vinkler) for at regne trekanten, men kender man kun trekantens vinkler, kan man ikke vide hvad siderne er. Kender man en vinkel, en hosliggende side og den modstående side, er der
generelt to muligheder for hvordan trekanten kan se ud:
Øvelse 9.3.3 (Svær)
Antag, at vi har en trekant \(ABC\) med \(A=30\degree \), \(a=7\) og \(b=10\).
-
a) Der er to muligheder for sidelængden \(c\). Find begge muligheder.
-
b) Bestem de restrende og vinkler i de to trekanter.
-
c) Lav en skitse af trekanterne, der viser, hvordan der kan være to mulige trekanter.
Løsning 9.3.3
-
a) \(c_1=13{,}56\) eller \(c_2=3{,}76\).
-
b) Den ene trekant har \(B_1=45{,}59\) og \(C_1=104{,}42\). Den anden har \(B_2=134{,}42\) og \(C_2=15{,}59\).
-
c)
Vi skal nu regne en øvelse som dækker over den matematik man skal bruge i forbindelse med udledning af den såkaldte ”gitterligning” i fysik.
Øvelse 9.3.4
Betragt figuren:
Det røde linjestykke er vinkelret på det blå og det blå rammer det røde i det rødes midtpunkt. Bogstavet \(\varphi \) er det græske ”fi”.
I denne øvelse skal vi komme frem til, at når den blå linje er meget længere end den røde (forstil dig at vi havde tegnet figuren så den røde linje var så kort, at \(r_1\), \(r_2\) og \(r\) nærmest var parallelle), så vil forskellen
mellem længderne \(r_1\) og \(r_2\) være omtrent \(d\cdot \sin (\varphi )\). Altså at
\[r_2-r_1\approx d \cdot \sin (\varphi )\]
Det er lidt af en mundfuld, så vi gør det i små bidder.
-
a) Gør rede for at
\[(r_1)^2=\left (\frac {d}{2}\right )^2+r^2-2\cdot \frac {d}{2}\cdot r\cdot \cos (90\degree -\varphi )\]
-
b) Brug overgangsformlen \(\cos (90\degree -v)=\sin (v)\) til at reducere udtrykket.
-
c) Gør rede for at
\[(r_2)^2=\left (\frac {d}{2}\right )^2+r^2-2\cdot \frac {d}{2}\cdot r\cdot \cos (90\degree +\varphi )\]
-
d) Brug overgangsformlen \(\cos (90\degree +v)=-\sin (v)\) til at reducere udtrykket.
-
e) Beregn \((r_2)^2-(r_1)^2\)
-
f) Vis at \((r_2)^2-(r_1)^2=(r_2+r_1)(r_2-r_1)\)
-
g) Argumenter for at \((r_2)^2-(r_1)^2\approx 2r(r_2-r_1)\), når den blå linje er meget længere end den røde. Forstil dig f.eks. den røde linje på
figuren var så kort at du kun lige akkurat kunne se den.
-
h) Vis nu at \(2r(r_2-r_1)\approx 2\cdot d\cdot r\cdot \sin (\varphi )\), når den blå linje er meget længere end den røde.
-
i) Vis nu at \(r_2-r_1\approx d\cdot \sin (\varphi )\), når den blå linje er meget længere end den røde.
Løsning 9.3.4
-
a) Vi bruger cosinusrelationerne på den grønne trekant:
Den grønne vinkel må være \(90\degree - v\), da den er komplementvinkel til \(\varphi \)
-
b) \((r_1)^2=\left (\frac {d}{2}\right )^2+r^2-d\cdot r\cdot \sin (\varphi )\)
-
c) Gøres på tilsvarende måde som i spørgsmål a), bare ved at betragte trekanten udspændt af \(r\) og \(r_2\).
-
d) \((r_2)^2=\left (\frac {d}{2}\right )^2+r^2+d\cdot r\cdot \sin (\varphi )\)
-
e) \((r_2)^2-(r_1)^2=2\cdot d\cdot r\cdot \sin (\varphi )\)
-
f) Følger af kvadratsætning \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Hvis du ikke kan genkende den så søg på ”kvadratsætninger” i mathhx-b-bogen.
-
g) Hvis den blå linje er meget længere end den røde må forskellen mellem \(r_1\) og \(r_2\) være meget lille sammenlignet med størrelsen på \(r_1\) og
\(r_2\). Så når man lægger dem sammen, så gør det ikke den store forskel om man skriver \(r_1\), \(r_2\) eller \(r_3\). Derfor kan vi skrive \(2r\) i stedet for \(r_1+r_2\) udtrykket
\[(r_2)^2-(r_1)^2=(r_2+r_1)(r_2-r_1)\]
-
h) I delspørgsmål e) har du vist at \((r_2)^2-(r_1)^2=2\cdot d\cdot r\cdot \sin (\varphi )\). I delspørgsmål g) har du vist at
\((r_2)^2-(r_1)^2\approx 2r(r_2-r_1)\), når den blå linje er meget længere end den røde. Kombiner de to og du får det ønskede.
-
i) Vi deler med \(2r\) på begge sider af lighedstegnet.
Øvelse 9.3.5
Betragt den retvinklede trekant:
-
a) Opskriv den 3. cosinusrelation.
-
b) Udnyt at \(C=90\degree \) til at forsimple den opskrevne cosinusrelation.
-
c) Dit resultat ligner noget, du har set før. Hvad?
Ovenstående øvelse viser, at man kan opfatte cosinusrelationerne som en generalisering af Pythagoras læresætning.
Sinusrelationerne
Cosinusrelationerne kan bruges til at finde de resterende sider og vinkler når man har:
Har vi to vinkler og en side kan vi bestemme de resterende sider og vinkler ved at bruge sinusrelationerne:
Øvelse 9.3.6
Sinusrelationerne ser således ud:
\[\frac {a}{\sin (A)} = \frac {b}{\sin (B)} = \frac {c}{\sin (C)}\]
-
Eksempel 9.3.3
Antag, at vi har en trekant \(ABC\) med \(A=20\degree \), \(a=3\) og \(b=5\)
Vi kan bestemme vinklen \(B\) vha. sinusrelationerne. Vi vil bruge dem i den form vi lige har udledt i øvelsen oven over.
\[\frac {\sin (A)}{a} = \frac {\sin (B)}{b}\]
Vi ganger med \(b\) på begge sider:
\[b\cdot \frac {\sin (A)}{a} = \sin (B)\]
Vi indsætter oplysningerne:
\[5\cdot \frac {\sin (20\degree )}{3} = \sin (B)\]
Vi taster i GeoGeo:
\[\sin (B)=0.5700335722\]
Vi tager \(\sin ^{-1}\) på begge sider
\[B=34.75\degree \]
Øvelse 9.3.7
Du skal nu finde de resterende sider og vinkler i trekanten fra eksemplet oven over.
Løsning 9.3.7
-
a) \(125{,}25\)
-
b) \(c=7{,}16\)
Øvelse 9.3.8
Lad der være givet en trekant \(ABC\) med \(B=120\degree \), \(C=20\degree \) og \(c=11\)
Øvelse 9.3.9 (Svær)
Vi vender tilbage til øvelse øvelse 9.3.3. Her havde vi en trekant \(ABC\) med \(A=30\degree \), \(a=7\) og \(b=10\).
-
a) Brug sinusrelationerne til at bestemme \(\sin (B)\).
-
b) Bestem nu \(B\) ud fra \(\sin (B)\).
-
c) Ved at betragte enhedscirklen, skal du komme frem til en anden vinkel \(0<B_2<180\degree \) som også opfylder \(\sin
(B)=0{,}7142857143\)
-
d) Bestem resten af siderne og vinklerne de to mulige trekanter uden at bruge cosinusrelationerne
Løsning 9.3.9
-
a) \(\sin (B)=0{,}7142857143\)
-
b) \(B=45{,}5846914028\)
-
c) \(B_2=134{,}42\)
-
d) \(c_1=13{,}56\), \(c_2=3{,}76\), \(C_1=104{,}42\), \(C_2=15{,}59\).
Hvornår bruger man cosinus- og sinusrelationerne?
Både cosinus- og sinusrelationerne handler om fire størrelser i en trekant. Har man tre af de fire størrelser kan man finde den sidste, hvis der altså er en entydig trekant, som er givet ved de opgivne størrelser. Vi opsummerer:
. |
Hvis du har
|
Brug
|
Tre sider
|
Cosinusrelationerne
|
En vinkel og de to hosliggende sider
|
Cosinusrelationerne
|
En vinkel, en hosliggende side og en modstående side
|
Cosinusrelationerne eller sinusrelationerne. Se evt. kommentar i ekstraafsnit
|
To vinkler og en side
|
Sinusrelationerne
|
|
|
Husk dog, at hvis du har en retvinklet trekant, så er det bedst at bruge metoderne fra sidste afsnit. Skål!
Ekstra
Funktionerne cosinus og sinus adskiller sig på et afgørende punkt i forhold til trekantsberegning. For hver vinkel \(v\) mellem \(0<v<180\degree \) har cosinus en entydig værdi. Hvis vi f.eks. ved at \(\cos (v)=0{,}5\), ja
så ved vi også at \(v=60\degree \). Her er det anderledes med sinus. Ved vi f.eks. at \(\sin (v)=0{,}5\), ja så kan både være \(30\degree \) og \(150\degree \), og når vi bruger sinusrelationerne, kræver det lidt omtanke at
finde ud af, hvilken en som er rigtig, eller om begge er mulige. Så selvom sinusrelationerne er hurtigere at bruge (sammenlign øvelse 9.3.3 og i øvelse 9.3.9), så skal man være mere forsigtig med sinusrelationerne. Se bare denne Reddit-post) (hva’ faen hedder en ”post” på dansk?).