MATHHXA|Gå til Mat-B|Download PDF|Info

MATHHX A

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

1.7 Beviser - Integralregning

Beviser til stamfunktioner
  • Sætning 1.7.1
    Lad \(F\) være en stamfunktion til \(f\), \(G\) en stamfunktion til \(g\) og \(k\) en konstant. Så gælder:

    • 1. \(k\cdot F(x)\) er en stamfunktion til \(k\cdot f(x)\)

    • 2. \(F(x)+G(x)\) er en stamfunktion til \(f(x)+g(x)\)

    • 3. \(F(x)-G(x)\) er en stamfunktion til \(f(x)-g(x)\)

  • Bevis 
    Vi viser første regneregel. Se nedenstående øvelse for resten.

    Vi husker at en stamfunktion funktion \(f\) er en funktion \(F\) som opfylder at:

    \[F'(x)=f(x)\]

    Så skal vi vise at \(k\cdot F(x)\) er stamfunktion til \(k\cdot f(x)\) skal vi altså vise at:

    \[\left (k\cdot F(x)\right )'=k\cdot f(x)\]

    Vi regner \(\left (k\cdot F(x)\right )'\) ved at bruge regnereglen \(\left (k\cdot f(x)\right )'=k\cdot f'(x)\), som vi kender fra differentialregning:

    \begin{align*} \left (k\cdot F(x)\right )' & =k\cdot F'(x) && (\text {Regel: } \left (k\cdot f(x)\right )'=k\cdot f'(x))\\ & =k\cdot f(x) && (\text {Da } F'(x)=f(x)) \end{align*} Altså er \(\left (k\cdot F(x)\right )'=k\cdot f(x)\), hvilket var det vi gerne ville vise.

Øvelse 1.7.1

  • a) Bevis resten af sætning 1.7.1.

Løsning 1.7.1

  • a) Du viser den til mig.

Vi lægger godt mærke til resultaterne i sætning 1.7.1 da vi for brug for dem i næste bevis.

Beviser til bestemte integraler
  • Sætning 1.3.1
    Lad \(f\) og \(g\) være kontinuerte funktioner, \(a\), \(b\) og \(c\) reelle tal, og \(k\) en konstant. Så gælder følgende regneregler:

    • 1. \(\int _a^b k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int _a^b f(x)\,dx\)

    • 2. \(\int _a^b \left ( f(x)+g(x)\right ) \,dx=\int _a^b f(x)\,dx+\int _a^b g(x)\,dx\)

    • 3. \(\int _a^b \left ( f(x)-g(x)\right ) \,dx=\int _a^b f(x)\,dx-\int _a^b g(x)\,dx\)

    • 4. \(\int _a^b f(x)\,dx=\int _a^c f(x)\,dx + \int _c^b f(x)\,dx\)  (Indskudsreglen)

  • Bevis 
    Regel 1: Vi skal vise at

    \[\int _a^b k\cdot f(x)\,dx=k \cdot \int _a^b f(x)\,dx.\]

    Vi udnytter at \(k\cdot F(x)\) er stamfunktion til \(k\cdot f(x)\):

    \begin{align*} \int _a^b k\cdot f(x)\,dx & = \left [ k\cdot F(x) \right ]_a^b\\ & = k\cdot F(b)-k\cdot F(a)\\ & = k\cdot (F(b)-F(a))\\ & = k \cdot \int _a^b f(x)\,dx \end{align*} Regel 2: Vi skal vise at

    \[\int _a^b \left ( f(x)+g(x)\right ) \,dx=\int _a^b f(x)\,dx+\int _a^b g(x)\,dx\]

    Vi udnytter at \(F(x)+G(x)\) er en stamfunktion til \(f(x)+g(x)\)

    \begin{align*} \int _a^b \left ( f(x)+g(x)\right ) \,dx & = \left [F(x)+G(x)\right ]_a^b\\ & = F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))\\ & = F(b)+G(b)-F(a)-G(a)\\ & = F(b)-F(a)+G(b)-G(a)\\ & = \int _a^b f(x)\,dx+\int _a^b g(x)\,dx \end{align*} Regel 3 springer vi over da den bevises som regel 2.

    Regel 4 Vi skal vise

    \[\int _a^b f(x)\,dx=\int _a^c f(x)\,dx + \int _c^b f(x)\,dx\]

    Her er det nemmest at starte med højresiden:

    \begin{align*} \int _a^c f(x)\,dx + \int _c^b f(x)\, dx &= F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\\ &= F(b) - F(a)\\ &= \int _a^b f(x) \, dx \end{align*}

Beviser til arealbestemmelse

Det vigtigste og mest spændende bevis er beviset for hovedsætningen.

  • Sætning 1.5.1 (Differential- og integralregningens hovedsætning)
    Lad \(f\) være kontinuert funktion, som er ikke-negativ på intervallet \([a,b]\).

    Lad \(A\) betegne arealet af området \(M\) afgrænset af linjerne \(x=a\), \(x=b\), førsteaksen og \(f\):

    (-tikz- diagram)

    Arealet \(A\) er bestemt ved:

    \[A = \int _a^b f(x)\, dx\]

  • Bevis 
    For at gøre beviset nemmere vil vi antage at \(f\) er voksende. Arealet \(A\) er arealet af det farvede område:

    (-tikz- diagram)

    Beviset er langt, så vi deler det op i to dele.

    Del 1: Arealfunktionen

    Første del omhandler en funktion vi kalder arealfunktionen og betegner med \(A(x)\). Den er defineret ved, at den til ethvert \(x\) knytter arealet af området afgrænset af de lodrette linjer gennem \(a\) og \(x\), grafen for \(f\) og førsteaksen. Arealet \(A(x)\) er altså det blåt skraverede område:

    (-tikz- diagram)

    Læg mærke til at der forskel på \(A\) og \(A(x)\). Bogstavet \(A\) bruger vi om arealet omtalt i sætningen, mens \(A(x)\) altså er arealfunktionen. Del 1 går ud på at vise at \(A(x)\) er stamfunktion til \(f\). Dvs. vi skal vise at \(A'(x)=f(x)\). Vi husker at differentialkvotienten er defineret ved:

    \[A'(x)=\lim _{\Delta x\to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}\]

    Nu skal vi vise at \(A'(x)=f(x)\), så vi skal altså vise at

    \[\lim _{\Delta x\to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x).\]

    Vi vælger nu et \(\Delta x\), og indtegner arealet \(A(x+\Delta x)\) på vores skitse:

    (-tikz- diagram)

    Vi har skraveret \(A(x+\Delta x)\) med rødt (vi husker at det blå område er \(A(x)\)). Hvis vi kigger på den del af det røde område, som ikke er blåt, må det være givet ved \(A(x+\Delta x)-A(x)\). Det er det område vi er interesseret i, og derfor vil vi nu markere det med gult. Vi indtegner også to rektangler på tegningen:

    (-tikz- diagram)

    Det sorte rektangel har bredde \(\Delta x\) og højde \(f(x)\). Dermed har det arealet \(f(x)\Delta x\). Det grønne rektangel har også en bredde på \(\Delta x\), men højden er \(f(x+\Delta x)\). Dermed har det arealet \(f(x+\Delta x)\Delta x\). Vi kan se at areal af det gule område ligger i mellem arealerne af de to rektangler. Altså

    \[f(x)\Delta x\leq A(x+\Delta x)-A(x)\leq f(x+\Delta x)\Delta x\]

    Vi dividerer nu med \(\Delta x\):

    \[f(x)\leq \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}\leq f(x+\Delta x).\]

    Vi genkender nu udtrykket i midten som at være differenskvotienten. Vi mangler bare at tage grænseværdien, så vi lader \(\Delta x\to 0\). Vi har antaget at \(f\) er kontinuert, så derfor må \(f(x+\Delta x)\to f(x)\) når \(\Delta x \to 0\). Men differenskvotienten \(\frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}\) ligger imellem \(f(x)\) og \(f(x+\Delta x)\), så derfor må den følge med, og også gå mod \(f(x)\) når \(\Delta x\to 0\). Altså:

    \[\lim _{\Delta x\to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x),\]

    hvilket var det vi skulle vise, og vi kan konkludere at \(A(x)\) er stamfunktion til \(f\). Vi er hermed færdige med bevisets første del.

    Del 2: Arealet \(A\) som bestemt integral

    I del 2 viser vi sætningens påstand. Altså vi vil bevise at:

    \[A = \int _a^b f(x) \, dx\]

    Ifølge definitionen af det bestemte integral er

    \[\int _a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a),\]

    hvor \(F\) en hvilken som helst stamfunktion til \(f\). Vi har lige vist at \(A(x)\) er en stamfunktion til \(f\), så den må vi kunne bruge som stamfunktion i integralet. Altså:

    \[\int _a^b f(x) \, dx = A(b)-A(a).\]

    Vi ser at højresiden er en forskel mellem to arealer. Lad os se nærmere på de to arealer. Arealet \(A(b)\) er, ifølge definitionen af arealfunktionen, arealet af området afgrænset af linjerne \(x=a\), \(x=b\), førsteaksen og \(f\). Det er det areal vi kaldte \(A\) i sætningen. Arealet \(A(a)\) er, ifølge definitionen af arealfunktionen, arealet af området afgrænset af linjerne \(x=a\), \(x=a\), førsteaksen og \(f\). Da de to lodrette afgrænsningslinjer ligger oven i hinanden vil området bare være en streg og dermed er \(A(a)=0\). Vi har altså:

    \[\int _a^b f(x) \, dx = A(b)-A(a)=A-0=A,\]

    hvilket fuldender beviset. For klarhedens skyld har jeg inkluderet en tegning de omtalte arealer. Området med arealet \(A(b)\) har jeg farvet pink, mens området med arealet \(A(a)\) er grønt:

    (-tikz- diagram)

Øvelse 1.7.2 (Svær)

I beviset ovenover har vi (uden at gøre om opmærksom på det) antaget at \(\Delta x\) er positiv.

  • a) Gennemfør beviset når \(\Delta x\) er negativ.

Løsning 1.7.2

  • a) Vis mig det.

Ekstra beviser
Argument for hovedsætningen

Beviset for hovedsætningen er lidt som de fleste andre beviser. Når beviset er færdig, må man erkende at sætningen må være rigtig, men sætningen fremstår ikke klarere, end inden man lavede beviset. Vi skal nu se argument for hovedsætningen, som ikke er så stringent, men til gengæld får det sætningen til at fremstå mere klart (måske? you tell me).

Vi skal vise at \(A = \int _a^b f(x)\, dx\) og det vil vi gøre ved at kigge på arealet først. Så betragt funktionen \(f\) og arealet under \(f\) mellem \(a\) og \(b\) som vist her:

(-tikz- diagram)

Vi vil nu bestemme dette areal ved at opdele x-aksen i mindre ligestore dele og tegne bokse som vist her:

(-tikz- diagram)

Vi kan se at det ikke er det helt rigtige areal vi får, men det er klart at arealet af rektanglerne nærmer sig det rigtige areal, hvis vi gør inddelingen finere. Vi regner nu arealet. Kalder vi boksenes bredde for \(\Delta x\) vil første boks havde arealet

\[\text {højde}\cdot \text {bredde}=f(x_1)\cdot \Delta x\]

Tilsvarende for de andre bokse. Det samlede areal er altså givet ved:

\[A\approx f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+f(x_3)\Delta x\]

Vi kan udtrykke arealet vha. stamfunktionen \(F\), da \(F'(x)=f(x)\):

\[A\approx F'(x_1)\Delta x+F'(x_2)\Delta x+F'(x_3)\Delta x\]

Nu er arealet altså udtrykt ved \(F\). Lad os se hvordan det ser ud på grafen for \(F\). Vi ved at \(F'\) udtrykker hældningen på tangenten til \(F\). Ganger vi hældning med \(\Delta x\) får vi tangentens vækst, når \(x\) vokser med \(\Delta x\). Lad os tegne det ind. Vi tegner tangenterne med blå og væksten med rød:

(-tikz- diagram)

Arealet er altså lig med summen af de røde længder. Vi sammenligner nu summen af de røde længder med \(F(b)-F(a)\) som må være afstanden fra \(F(a)\) til \(F(b)\) langs \(y\)-aksen.

(-tikz- diagram)

Vi ser at den samlede længde af de røde stykker (som utrykker arealet) giver omtrent det samme som længden af det grønne stykke (som udtrykker \(F(b)-F(a)\)). Altså

\[A\approx F(b)-F(a)\]

og da \(F(b)-F(a)=\int _a^b f(x)\, dx\) må

\[A \approx \int _a^b f(x)\, dx\]

Når vi skriver ”\(\approx \)” i stedet for ”\(=\)” er det pga. de afvigelser der introduceres som konsekvens af inddelingen af \(x\)-aksen. Hvis vi gør inddelingen finere er det klart, at afvigelserne bliver mindre. Faktisk er det oplagt at vi kan gøre afvigelserne vilkårligt små ved bare at gøre inddelingen fin nok. Derfor konkluderer vi at:

\[A = \int _a^b f(x)\, dx\]

Beviser til ubestemte integraler

Vi skal nu bevise nogle simple regneregler for ubestemte integraler. Men inden vi går i gang med de konkrete regler, skal vi se på et generelt princip. Lad os sige at vi vil bevise påstanden

\[\int (\textrm {udtryk 1}) \, dx = \textrm {udtryk 2}.\]

Ifølge definitionen af det ubestemte integral betyder det, at vi skal bevise at udtryk 2 udgør samtlige stamfunktioner til integranden (altså udtryk 1). I praksis vil vi nøjes med at bevise at udtryk 2 er én stamfunktion til integranden. Den eneste forskel på én stamfunktion og samtlige stamfunktioner er, at udtrykket for samtlige stamfunktioner indeholder en integrationskonstant. I vores tilfælde vil udtryk 2 oplagt indeholde en integrationskonstant, det er bare ikke noget vi vil komme ind på.

  • Sætning 1.2.1
    Lad \(f\) og \(g\) være kontinuerte funktioner og \(k\) en konstant som ikke er nul. Så gælder følgende regneregler:

    • 1. \(\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int f(x)\,dx\)

    • 2. \(\int \left ( f(x)+g(x) \right )\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\)

    • 3. \(\int \left ( f(x)-g(x) \right )\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx\)

  • Bevis 
    Vi vil bevise de to første regler.

    Regel 1: Vi skal vise at

    \[\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int f(x)\,dx\]

    Ifølge vores vores generelle princip om beviser med ubestemte integraler skal vi vise, at højresiden er stamfunktion til integranden. Altså at \(k\cdot \int f(x)\,dx \) er stamfunktion til \(k\cdot f(x)\): Vi diffentierer \(k\cdot \int f(x)\,dx \)

    \[\left ( k\cdot \int f(x)\,dx \right )'\]

    Vi sætter \(k\) ud foran differentiationen.

    \[k\cdot \left ( \int f(x)\,dx \right )' \]

    Vi husker at ubestemte integraler er stamfunktioner. Så integration og differentiation ophæver hinanden altså har vi:

    \[k\cdot f(x)\]

    Altså er \(k\cdot \int f(x)\,dx \) er stamfunktion til \(k\cdot f(x)\) og vi har vist Regel 1.

    Regel 2: Vi skal vise at

    \[\int \left ( f(x)+g(x) \right )\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\]

    Vi differentierer højresiden:

    \[\left (\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\right )'\]

    Vi opdeler differentiationen i to:

    \[\left (\int f(x)\, dx\right )' + \left (\int g(x)\, dx\right )'\]

    Differentiation ophæver integration:

    \[f(x)+g(x)\]

    og vi har altså vist, at \(\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\) er stamfunktion \(f(x)+g(x)\), så regel 2 er bevist.

Øvelse 1.7.3

  • a) Bevis regel 3 i sætning 1.2.1 (ovenstående sætning).

Løsning 1.7.3

  • a) Regel 3: Vi skal vis at

    \[\int \left ( f(x)-g(x) \right )\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx\]

    Vi differentierer højresiden:

    \[\left (\int f(x)\,d-\int g(x)\,dx\right )'\]

    Vi opdeler differentiationen i to:

    \[\left (\int f(x)\, dx\right )' - \left (\int g(x)\, dx\right )'\]

    Differentiation ophæver integration:

    \[f(x)-g(x)\]

    og vi har altså vist at \(\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx\) er stamfunktion \(f(x)-g(x)\), så regel 2 er bevist.

Øvelse 1.7.4 (Svær)

I bemærkningen inden ovenstående bevis står der: ”I vores tilfælde vil udtryk 2 oplagt indeholde en integrationskonstant”

  • a) Forklar hvorfor, for hver af de tre regneregler.

Løsning 1.7.4

  • a) Du forklarer det til mig.

Beviser til integration ved substitution
  • Sætning 1.4.1
    Lad \(f\) være en kontinuert funktion og \(g\) en differentiabel funktion. Så gælder:

    \[\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt,\]

    hvor \(t=g(x)\).

  • Bevis 
    Vi skal vise at

    \[\int f\big (g(x)\big )g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt\]

    Vi skal vise at \(\int f(t)\, dt\) er stamfunktion til \(f\big (g(x)\big )g'(x)\), hvilket vil sige, at vi skal differentiere \(\int f(t)\, dt\) ,og tjekke at det giver \(f\big (g(x)\big )g'(x)\). Men nu skal vi holde tungen lige i munden. Fordi selvom \(\int f(t)\, dt\) ligner en funktion af \(t\), skal den opfattes som en funktion af \(x\), og når vi differentiere den, skal den altså differentieres med hensyn til \(x\). Det betyder at det er en sammensat funktion:

    (-tikz- diagram)

    Regnereglen for differentiation af sammensatte funktioner lyder:

    \[\big ( f(g(x))\big )'= f'(g(x))\cdot g'(x).\]

    Hos os er den ydre funktion \(\int f(t)\, dt\), og den indre funktion er \(t=g(x)\). Vi får nu

    \begin{align*} \left (\int f(t)\, dt\right )' &= f(t)\cdot t'\\ &= f\big (g(x)\big )\cdot g'(x), \end{align*} og vi har hermed vist at \(\int f\big (g(x)\big )g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt\). Man kan dog undre over hvorfor jeg ganger med \(t'\) ved det første lighedstegn. Burde differentiation og integration ikke gå ud med hinanden? Nej, for vi differentierer med hensyn til \(x\) og integrere med hensyn til \(t\). Først når vi bruger reglen om differentiation af sammensatte funktioner, kan vi differentiere den ydre funktion med hensyn til \(t\) ,og på det tidspunkt vil differentiation og integration gå ud med hinanden. Men reglen siger så også, at vi skal gange med den indre differentieret, og derfor ganger vi med \(t'\).

  • Sætning 1.4.2
    Lad \(f\) være en kontinuert funktion, \(g\) en differentiabel funktion og lad \(a\) og \(b\) være to reelle tal. Så gælder:

    \[\int _a^b f(g(x))g'(x)\, dx = \int _{g(a)}^{g(b)} f(t)\, dt, \]

    hvor \(t=g(x)\).

  • Bevis 
    Ifølge sætningen for substitution for ubestemte integraler gælder følgende:

    \[\int f\big (g(x)\big )g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt\]

    Her er det er underforstået at vi skal indsætte \(g(x)\) i stedet for \(t\) efter vi har integreret på højresiden. Men det må betyde, at vi kan finde en stamfunktion til \(f(g(x))g'(x)\), ved at finde en stamfunktion til \(f(t)\), og så indsætte \(g(x)\) i stedet for \(t\). Så hvis \(F(t)\) er en stamfunktion til \(f(t)\), så er \(F(g(x))\) en stamfunktion til \(f(g(x))g'(x)\). Sætningen er nu nem at vise:

    \begin{align*} \int _a^b f(g(x))g'(x)\, dx &= \left [ F\big (g(x)\big ) \right ]_a^b\\ &=F\big (g(b)\big )-F\big (g(a)\big )\\ &=\left [ F(x) \right ]_{g(a)}^{g(b)} \end{align*}

Øvelse 1.7.5 (Svær)

  • a) Bevis de ekstra regneregler i afsnit 1.3.

Løsning 1.7.5

  • a) Fremlæg dem for mig