Definition 5.1.1 En potensfunktion er en funktion med forskriften
\[f(x)=b\cdot x^a\]
hvor \(b>0\) og \(x>0\).
Bemærk at der ud over at være et krav til \(b\) også er et krav til \(x\). Det er første gang vi ser det i en definition af en funktionstype.
Øvelse 5.1.1
Man kunne godt komme til at forveksle forskriften for en potensfunktion med forskriften for en eksponentiel funktion.
a) Hvad er forskellen?
Løsning 5.1.1
a) En eksponentiel funktion har forskriften \(f(x)=b\cdot a^x\). Altså der byttet rundt på \(x\) og \(a\).
Eksempel 5.1.1 En funktion med forskriften... lad os sige... \(f(x)=2\cdot x^4\) er selvfølgelig en potensfunktion, men nogle gange er det knap så tydeligt, at man har med en potensfunktion at gøre. Her ses
nogle mindre oplagte eksempler:
• \(f(x)=\sqrt {x}\) er en potensfunktion da \(\sqrt {x}=1\cdot x^{\frac {1}{2}}\)
• \(f(x)=\frac {1}{x}\) er en potensfunktion da \({\frac {1}{x}}=1\cdot x^{-1}\)
I eksemplet ser vi at \(f(x)=\sqrt {x}\) og \(f(x)=\frac {1}{x}\) begge er eksempler på potensfunktionsfunktioner. Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, og man kan ikke dele med nul, og det er grunden til, at vi
kræver at \(x>0\) i definition 5.1.1. Så er vi nemlig sikre på, at \(f(x)=b\cdot x^a\) er defineret uanset, hvad \(a\) er. Men mange potensfunktioner
kunne defineres for en større mængde af tal. F.eks. funktionen \(f(x)=x^2\). Opfatter vi denne funktion som et andengradspolynomium, er den pludselig defineret for alle reelle tal. Medmindre man specifikt angiver, at funktionen
skal opfattes som en potensfunktion, så er definitionsmængden altid den størst mulige. I dette kapitel er det implicit at alle funktionerne skal opfattes som potensfunktioner.
Øvelse 5.1.2
Afgør hvilke af følgende funktioner der er potensfunktioner og bestem \(a\) og \(b\):
a) \(f(x)=2\cdot x^5\)
b) \(f(x)=x^3\)
c) \(f(x)=7\cdot 2^x\)
d) \(f(x)=x\)
e) \(f(x)=-x\)
f) \(f(x)=2x^3+1\)
g) \(f(x)=4\)
h) \(f(x)=\sqrt [3]{x^2}\)
i) \(f(x)=\frac {7}{x^4}\)
Løsning 5.1.2
a) Potensfunktion, \(a=5\) og \(b=2\).
b) Potensfunktion, \(a=3\) og \(b=1\).
c) Ikke en potensfunktion.
d) Potensfunktion, \(a=1\) og \(b=1\)
e) Ikke en potensfunktion.
f) Ikke en potensfunktion.
g) Potensfunktion, \(a=0\) og \(b=4\)
h) Potensfunktion med \(a=\frac {2}{3}\) of \(b=1\)
i) Potensfunktion med \(a=-4\) of \(b=7\)
Øvelse 5.1.3
Af sidste øvelsen fremgår det at der er mange velkendte funktioner som også kan opfattes som potensfunktioner, hvis definitionsmængden begrænses til \(]0;\infty [\).
a) Hvilke lineære funktioner kan opfattes som potensfunktioner?
b) Hvilke polynomier kan opfattes som potensfunktioner?
c) Hvilke konstante funktioner kan opfattes som potensfunktioner.
Løsning 5.1.3
a) Lineære funktioner \(f(x)=ax+b\), hvor \(b>0\).
b) Polynomier, hvor koefficienten til højestegradsleddet er positiv og resten af koefficienterne er nul.
c) Alle positive konstante funktioner.
Graf
For potensfunktionen \(f(x)=b\cdot x^a\) er grafens form er bestemt af konstanterne \(a\) og \(b\). Her er det især \(a\) som er spændende at se på, da det er den som bestemmer, hvilken type graf der er tale om.
Betydning af \(a\)
Det er \(a\) som bestemmer potensfunktions vækst. Alt efter værdien af \(a\) får vi forskellig form på grafen for funktionen:
\(a<0\)
\(a=0\)
\(0<a<1\)
\(a=1\)
\(a>1\)
Figur 5.1: Grafen for potensfunktionen \(f(x)=b\cdot x^a\) for forskellige værdier af konstanten \(a\)
Betydning af \(b\)
Konstanten \(b\) har selvfølgelig også en betydning for grafen. Det er nemlig andenkoordinaten til punktet med førstekoordinat \(1\), som vist her:
Øvelse 5.1.4
Her ses grafen for en potensfunktion.
a) Hvad kan man sige om \(a\)?
b) Aflæs værdien af \(b\).
Løsning 5.1.4
a) \(0<a<1\)
b) \(b=3\)
Øvelse 5.1.5
Definitions og værdimængden for potensfunktionen \(f(x)=b\cdot x^a\) afhænger af konstanterne \(a\) og \(b\).
Ud fra graferne i figur 5.1 skal du bestemme definitions og værdimængden for \(f\) når
a) \(a\neq 0\)
b) \(a = 0\)
Løsning 5.1.5
a) \(\Dm (f)=]0;\infty [\) og \(\Vm (f)=]0;\infty [\)
b) \(\Dm (f)=]0;\infty [\) og \(\Vm (f)=b\)
Øvelse 5.1.6
Potensfunktioner som f.eks. \(f(x)=3x\) og \(f(x)=x^2\) er ikke så interessante da vi har studeret dem i de foregående kapitler. Så lad os se nærmere på nogle af de mere eksotiske potensfunktioner.
a) Lav en skitse af \(f(x)=\sqrt {x}\). Hvis du er sej, gør du det i hånden uden GeoGebra.
b) Lav en skitse af \(f(x)=\frac {1}{x}\). Hvis du er sej, gør du det i hånden uden GeoGebra.
Løsning 5.1.6
a) Opfattet som potensfunktion:
Ikke opfattet som potensfunktion:
b) Opfattet som potensfunktion:
Ikke opfattet som potensfunktion:
Denne graf kaldes også for en hyperbel.
Ligninger med potenser
I forbindelse med potensfunktioner optræder også ligninger med potenser.
Eksempel 5.1.2 Vi vil løse ligningen \(5 x^{3{,}5}=30\). Vi starter med at dividere med \(5\) på begge sider, da det vil bringe os lidt tættere på at få \(x\) til at stå alene:
\[x^{3{,}5}=\frac {30}{5}\]
Dvs.
\[x^{3{,}5}=6\]
Nu tager vi den \(3{,}5\)’te rod af \(6\) for at finde \(x\):
\[x=\sqrt [3{,}5]{6}\]
Vi taster roden i GeoGebra. Man kan få rodtegnet frem ved at skrive nroot i et algebravindue.
\[x=1{,}67\]
Øvelse 5.1.7
Løs ligningerne
a) \(3 x^{1{,}7}=20\)
b) \(0{,}23=x^{-1}\)
Løsning 5.1.7
a) \(x=3{,}05\)
b) \(x=4{,}35\)
Ekstra
Ligesom for lineære og eksponentielle funktioner, er der også en formel for forskriften for en potensfunktion gennem to punkter.
Sætning 5.1.1 Antag at grafen for en potensfunktion \(f(x)=b\cdot x^a\) går igennem punkterne \((x_0,y_0)\) og \((x_1,y_1)\). Da kan
\(a\) og \(b\) bestemmes ved formlerne:
A
