MATHHX A
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
12.1 Introduktion til vektorer
Forestil dig en kugle, der triller hen over en overflade. Hvis du gerne vil beskrive, hvor kuglen er på vej hen, skal du bruge både dens fart og retning. Her er det altså praktisk, at have et matematisk objekt, som kan angive begge dele
på en gang. Et sådan objekt kaldes en vektor.
En vektor tegnes som en pil, hvor pilens retning er vektorens retning, og pilens længde er vektorens længde. Her er et eksempel på en vektor:
I forhold til eksemplet med kuglen på overfladen repræsenterer vektorens længde, hvor hurtigt kuglen triller sig (farten), mens vektorens retning fortæller os, i hvilken retning kuglen triller.
Vi betegner vektorer med små bogstaver med pile over.
Det ses, at vi nu har givet vores vektor et navn, nemlig \(\vec {a}\) (læses ”vektor a”). Skriver man i hånden, vil man som regel benytte den lidt ”dovne” skrivemåde \(\overline {a}\) i stedet for \(\vec {a}\) .
Længen af \(\vec {a}\) betegnes med \(|\vec {a}|\), som læses ”længden af vektor a”. Der findes en særlig vektor som har en længde på nul, men ikke nogen retning. Den kaldes nulvektoren, betegnes med \(\vec
{0}\) og tegnes som en prik:
En vektor som ikke er nulvektoren kaldes en egentlig vektor.
Vi tegner nogle gange vektorer ind i koordinatsystemer.
Her kunne det godt se ud som jeg har tegnet to forskellige vektorer, men fordi \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) har samme størrelse og retning, så er de ens. Altså \(\vec {a}=\vec {b}\). Man siger at de to pile er to forskellige
repræsentanter for den samme vektor.
Øvelse 12.1.1
Betragt vektorerne
Regning med vektorer
Lad os se på hvordan vi regner med vektorer. Vi starter med addition.
Øvelse 12.1.2
Betragt vektorerne
Tegn vektorerne
-
a) \(\vec {a}+\vec {b}\)
-
b) \(\vec {a}+\vec {c}\)
-
c) \(\vec {b}+\vec {c}\)
Har man en vektor, kan man danne en ny vektor ved at sætte et minus foran. Mere præcist:
Øvelse 12.1.3
Her er en vektor:
Løsning 12.1.3
-
a)
Selvom vi skriver \(-\vec {a}\) betyder det ikke at vektoren er ”negativ”, det betyder bare at den peger i modsat regning af \(\vec {a}\) .
Nu, hvor vi har defineret, hvad \(-\vec {a}\) betyder, er der en oplagt måde at definere subtraktion.
Øvelse 12.1.4
Betragt vektorerne
Tegn vektorerne
-
a) \(\vec {a}-\vec {b}\)
-
b) \(\vec {b}-\vec {a}\)
-
c) \(\vec {b}-\vec {c}\)
Øvelse 12.1.5
Betragt vektorerne \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\):
Man kan argumentere for at \(\vec {a}-\vec {b}\) går fra spidsen af \(\vec {b}\) til spidsen af \(\vec {a}\) som vist her:
Øvelse 12.1.6
Nogle bøger definere sum og differens af to vektorer lidt anderledes. Givet to vektorer
så defineres \(\textcolor {green}{\vec {a}+\vec {b}}\) og \(\textcolor {red}{\vec {a}-\vec {b}}\) som diagonalerne i det parallelogram som udspændes af \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som vist her:
Løsning 12.1.6
-
a) Vi har allerede (øvelse 12.1.5) gjort rede for at \(\vec {a}-\vec {b}\)
ligger som den røde vektor.
Da figuren er et parallelogram må \(\vec {b}\) også ligge som vist her med brun:
Nu ligger \(\textcolor {brown}{\vec {b}}\) i forlængelse af \(\vec {a}\) og derfor må den grønne vektor være \(\vec {a}+\vec {b}\).
Det var plus og minus, så mangler vi bare gange og dividere, right? Nej, man kan ikke gange eller dividere to vektorer. Men man kan gange en vektor med et tal.
Øvelse 12.1.7
Her er en vektor:
Løsning 12.1.7
-
a)
Vi har brug for nogle regneregler for at gøre det nemmere at regne mere komplicerede udtryk.
Regnereglerne afspejler dem som vi kender for de reelle tal, og vi bruger sætningen til at sikre os, at vi kan regne med vektorer som om de var tal — altså lige bortset fra, at der ikke findes multiplikation/division mellem vektorer.
Øvelse 12.1.8
Betragt vektorerne
Reducer (ved at bruge regnereglerne) og tegn derefter følgende vektorer:
-
a) \(\vec {u}=2\vec {a}+\vec {a}-\vec {a}-3\vec {a}\)
-
b) \(\vec {v}=\vec {b}+\vec {a}-2\vec {a}-\vec {b}+\vec {0}+\vec {a}\)
-
c) \(\vec {w}=\vec {a} + 2( \vec {b}+\vec {c})- \vec {c}\)
Øvelse 12.1.9
Forklar følgende begreber:
Løsning 12.1.9
-
a) En vektor er et objekt med en længde og en retning. Man tegner vektorer som pile.
-
b) Nulvektoren er en vektor med længde på nul. Den tegnes som en prik.
-
c) En egentlig vektor er en vektor som ikke er nulvektoren, dvs. den en længde der er større end nul.
-
d) En repræsentant for en vektor er det vi får, når vi tegner vektoren et vilkårligt sted i et koordinatsystem. Vi kan lægge den alle steder, og derfor er der
uendelige mange repræsentanter for en givet vektor.