MATHHX A
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
12.3 Skalarprodukt
Vi har set, hvordan man regner sum, differens og ganger vektorer med tal. Reglerne for dette virkede helt naturlige (håber jeg). Prøver man at finde en naturlige måde at definere gange mellem vektorer, får man et problem (prøv
selv). I stedet er der forskellige måder, man kan definere en ”gangeagtigt” operation. I det følgende vil vi se på en af disse operationer.
-
Definition 12.3.1
Hvis
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}a_1\\ a_2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}b_1\\ b_2\end {pmatrix}\]
Så er skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) givet ved
\[\vec {a}\cdot \vec {b}=a_1 b_1+a_2 b_2\]
Skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) læses ”vektor a prik vektor b”. Så ikke noget med gange. Prik. Man har det med at komme til at sige gange. Det er forbudt. Så prik. Ikke gange. PRIK. Vi bemærker
at skalarproduktet er et tal — ikke en vektor. Skalarproduktet kaldes også prikproduktet.
Det er umiddelbart ikke klart, hvad skalarproduktet udtrykker. Dvs. definition fortæller os, hvordan vi regner det, men ikke hvad det er, vi finder. Vi vil slutte dette afsnit af med en forklaring af dette, men først skal vi regne nogle
øvelser.
Øvelse 12.3.1
Lad
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}2\\ 1\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}1\\ -1\end {pmatrix}\]
Øvelse 12.3.2
Lad
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}a_1\\ 2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}2\\ 4\end {pmatrix}\]
Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet.
Øvelse 12.3.3 (Svær)
Reducer:
-
a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}-\vec {b}\cdot \vec {a}\)
-
b) \((2\vec {a})\cdot \vec {b}+ (\vec {b}\cdot \vec {a})\)
-
c) \(\vec {a} \cdot (\vec {a}+\vec {b})-|\vec {a}|^2\)
Løsning 12.3.3
-
a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}-\vec {b}\cdot \vec {a}=0\)
-
b) \((2\vec {a})\cdot \vec {b}+ (\vec {b}\cdot \vec {a})=3 (\vec {a}\cdot \vec {b})\)
-
c) \(\vec {a} \cdot (\vec {a}+\vec {b})-|\vec {a}|^2=\vec {a}\cdot \vec {b}\)
Øvelse 12.3.4 (Svær)
For to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) gælder:
\[|\vec {a}-\vec {b}|^2=|\vec {a}|^2 + |\vec {b}|^2 - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}\]
Vi ved at skalarproduktet mellem to vektorer er et tal. Men hvad fortæller det tal mon om de to vektorer? Fortolkningen af skalarproduktet har noget at gøre med vinklen mellem de to vektorer.
Vinklen mellem to vektorer
Antag, at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\):
Vinklen mellem de to vektorer er den vinkel der opstår, når man sætter de to vektorer, så de har samme begyndelsespunkt som vist her:
Der gælder følgende sætning:
Denne sætning er nøglen til at forstå skalarproduktet. Men først skal vi lige lære at bruge den.
Øvelse 12.3.5
Antag, at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\), som opfylder at \(|\vec {a}|=2\), \(|\vec {b}|=3\), og at vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) er \(60\degree \).
Øvelse 12.3.6
Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som opfylder at \(|\vec {a}|=5\), \(|\vec {b}|=1\) og \(\vec {a}\cdot \vec {b}=1\).
Øvelse 12.3.7
Betragt vektorerne:
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}2\\ 3\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}3\\ -4\end {pmatrix}\]
-
a) Forklar, hvordan vi kan bruge sætning 12.3.2 til at regne vinklen mellem mellem
vektorerne.
-
b) Bestem vinklen mellem vektorerne.
Løsning 12.3.7
-
a) Ud fra koordinaterne kan vi regne \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) samt \(|\vec {a}|\) og \(|\vec {b}|\). Vinklen kan så findes ved først at isolere
\(\cos (v)\) i \(\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}|\cos (v)\) og så indsætte de fundne værdier.
-
b) Vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) er \(109{,}44\degree \)
Fortolkning af skalarproduktet
Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\), hvor vinklen mellem dem er under \(90\degree \):
Vi indtegner nu en vektor \(\vec {b}_{\vec {a}}\) kaldet vektor b’s projektion på vektor a ved at gå fra \(\vec {b}\)’s slutpunkt til vinkelret ned på \(\vec {a}\) som vist her:
Vi vil nu vise at skalarproduktet er givet ved:
\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\]
På tegningen kan vi se en trekant med siderne \(\vec {b}\), \(\vec {b}_{\vec {a}}\) og den stiplede linje. Vi bruger nu reglen \(\cos (v)=\frac {\text {hosliggende katete}}{\text {hypotenusen}}\):
\[\cos (v)=\frac {|\vec {b}_{\vec {a}}|}{|\vec {b}|}\]
Vi ganger med \(|\vec {b}|\) på begge sider:
\[|\vec {b}| \cos (v)=|\vec {b}_{\vec {a}}|\]
Vi ganger med \(|\vec {a}|\) på begge sider:
\[|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (v)\]
Ifølge sætning 12.3.2 kan vi erstatte \(|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (v)\) med \(\vec {a}\cdot \vec {b}\), hvilket giver os:
\[|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=\vec {a}\cdot \vec {b}\]
Altså har vi vist at \(\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\), hvis \(v<90\degree \).
Øvelse 12.3.8
Vi har lige vist at når \(v<90\degree \) er \(\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\). Du skal i denne øvelse vise at det resultat også gælder når \(v=90\degree \).
Antag, at du har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\), som står vinkelret på hinanden.
-
a) Hvad er \(|\vec {b}_{\vec {a}}|\)?
-
b) Bestem \(|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\)
-
c) Bestem \(\vec {a}\cdot \vec {b}\). Brug sætning 12.3.2.
-
d) Gælder \(\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\) også når \(v=90\degree \)?
Når \(v>90\degree \) ser projektionen således ud:
Vi indtegner vinklen mellem \(\vec {b}\) og \(\vec {b}_{\vec {a}}\):
Som før bruger vi reglen \(\cos (v)=\frac {\text {hosliggende katete}}{\text {hypotenusen}}\), men denne gang på vinklen \(w\):
\[\cos (w)=\frac {|\vec {b}_{\vec {a}}|}{|\vec {b}|}\]
Vi ganger med \(|\vec {b}|\) på begge sider:
\[|\vec {b}| \cos (w)=|\vec {b}_{\vec {a}}|\]
Vi ganger med \(|\vec {a}|\) på begge sider:
\[|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (w)\]
Vinklerne \(v\) og \(w\) er supplementvinkler, så \(w=180\degree -v\):
\[|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (180\degree -v)\]
Vi bruger nu overgangsformlen \(\cos (180\degree -v)=-\cos (v)\) (tegn en enhedscirkel og tjek det):
\[|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {a}| |\vec {b}| (-\cos (v))\]
Vi ganger med \(-1\) på begge sider:
\[-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (v))\]
Ifølge sætning 12.3.2 kan vi erstatte \(|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (v)\) med \(\vec {a}\cdot \vec {b}\), hvilket giver os:
\[-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=\vec {a}\cdot \vec {b}\]
Altså har vi vist at \(\vec {a}\cdot \vec {b}=-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\), hvis \(v>90\degree \).
Vi konkluderer, at skalarproduktet mellem to vektorer er længden af den første vektor ganget med længden af den andens vektors projektion på den første, dog med negativt fortegn, hvis vinklen mellem de to er større end
\(90\degree \).
Øvelse 12.3.9
Tegn vektorerne
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}0\\ 10\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}3\\ 4\end {pmatrix}\]
Øvelse 12.3.10
Tegn vektorerne
\[\vec {a}=\begin {pmatrix}5\\ 2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}-4\\ 3\end {pmatrix}\]
Anvendelse af skalarproduktet
Vi skal nu se et eksempel på, hvor skalarproduktet dukker op i fysik. Antag, at vi har en kraft \(\vec {F}\), som trækker i en klods langs en glat overflade. Det stykke klodsen flytter sig, kan vi repræsentere med en vektor \(\vec
{s}\).
I fysik taler vi om kraftens arbejde, som udtrykker den energi kraften har overført til klodsen. Man kan i ovenstående tilfælde regne arbejdet \(A\) ved:
\[A=|\vec {F}| |\vec {s}|\]
Det giver god mening, at den overførte energi er proportional med kraften og det stykke klodsen bliver trukket. Trækker vi den f.eks. dobbelt så langt, ja så må vi have overført dobbelt så meget energi.
Nu ændrer vi på situationen, så vi i stedet trækker skråt i klodsen:
Det er klart at vi spilder nogle af vores kræfter i denne situation, nemlig den del af kraften som går op ad. Vi opdeler nu kraften i to komposanter.
Det er klart at \(\vec {F_2}\) næppe kan bidrage til klodsens energi, da klodsen ikke bevæger sig i lodret retning. Så i dette tilfælde regner man arbejdet ved:
\[A=|\vec {F_1}| |\vec {s}|\]
Men, hvad står der her? Vektoren \(\vec {F_1}\) er jo \(\vec {F}\)’s projektion på \(s\), så:
\[A=\vec {F}\cdot \vec {s}\]
Det er denne formel man vil møde, når man møder begrebet arbejde i fysik efter gymnasiet. Formlen gælder uanset, hvilken retning \(\vec {s}\) og \(\vec {F}\) peger.
Øvelse 12.3.11
Betragt formlen for arbejde \(A=\vec {F}\cdot \vec {s}\) i forbindelse med vores klods der bevæger sig mod højre:
Antag at vi har en kraft på klodsen som er på \(\SI {10}{N}\) og at \(s=\SI {2}{m}\).
Du skal nu regne arbejdet i tre forskellige situationer. Jeg kan afsløre at SI-enheden for arbejde er \(J\) (det er overført energi).
Brug formlen \(A=\vec {F}\cdot \vec {s}\), og regn ved hovedregning (undtagen i spørgsmål d, her må du godt bruge computer). Overvej om resultaterne virker fornuftige.
-
a) Antag at \(\vec {F}\) peger mod højre.
-
b) Antag at \(\vec {F}\) peger lodret op.
-
c) Antag at \(\vec {F}\) peger mod venstre.
-
d) At tag at \(\vec {F}\) peger skråt op mod højre, så kraften danner en vinkel \(\theta =30\degree \) med bevægelsesretningen.
Løsning 12.3.11
-
a) \(A=\SI {20}{J}\)
-
b) \(A=0\). Det passer med at klodsen ikke bevæger sig langs den akse hvor kræften virker, så kraften har ikke haft indflydelse på klodsens energi.
-
c) \(A=\SI {-20}{J}\). Læg mærke til det er et negativt tal. Det er fordi at kraften modvirker bevægelsen og derfor trækker energi ud af klodsen i stedet
for at give den energi.
-
d) \(A=\SI {17,32}{J}\)
Hvilken smuk måde at afslutte science-forløbet på mathhx.