MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}\)
\( \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} \)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
10.7 Beviser til funktionsundersøgelse
Toppunktsformlen
Kan I huske I de gode gamle dage på førsteår, hvor vi lærte at man kan finde toppunktet for et andengradspolynomium ved formlen:
\[T=\left (\frac {-b}{2a};\frac {-d}{4a}\right ).\]
Vi skal nu se et bevis for denne formel. Vi skal bruge differentialregning til beviset, hvilket også er årsagen til det først kommer nu og ikke under polynomier.
-
Sætning 4.3.1 (Toppunktsformlen)
Toppunktet for et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) med diskriminant \(d\), kan bestemmes ved:
\[T=\left (\frac {-b}{2a},\frac {-d}{4a}\right ).\]
-
Bevis
Vi skal finde toppunktet T:
Men det er jo det samme som at finde ekstremum! Det vil vi nu gøre på tilsvarende måde som vi plejer.
Først finder vi \(f'(x)\). Vi ved at \(f(x)=ax^2+bx+c\), så:
\[f'(x)=2ax+b\]
Vi sætter \(f'(x)=0\):
\[2ax+b=0\]
Vi trækker \(b\) fra på begge sider:
\[2ax=-b\]
og dividerer med \(2a\):
\[x=\frac {-b}{2a}\]
Vi har hermed fundet ekstremumsstedet, som må være førstekoordinaten til toppunktet. Vi kan se det passer med formlen:
\[T=\left (\textcolor {red}{\frac {-b}{2a}};\frac {-d}{4a}\right )\]
Vi regner nu andenkoordinaten. Det gør vi også på sædvanligvis, dvs. vi indsætter førstekoordinaten i forskriften:
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=a\left (\frac {-b}{2a}\right )^2+b\left (\frac {-b}{2a}\right )+c\]
Vi reducerer:
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=a\frac {b^2}{4a^2}+b\frac {-b}{2a}+c\]
Vi reducerer:
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=\frac {b^2}{4a}+\frac {-b^2}{2a}+c\]
Vi forlænger det midterste led med \(2\) (Vi ganger med \(2\) i tæller og nævner) og vi forlænger det sidste led med \(4a\):
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=\frac {b^2}{4a}+\frac {-2b^2}{4a}+\frac {4ac}{4a}\]
Vi sætter på fælles brøkstreg:
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=\frac {b^2-2b^2+4ac}{4a}\]
Vi reducerer:
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=\frac {-b^2+4ac}{4a}\]
Vi genkender nu tælleren som \(-d\) (vi har jo \(d=b^2-4ac\), så derfor må \(-d=-b^2+4ac\)):
\[f\left (\frac {-b}{2a}\right )=\frac {-d}{4a}\]
Vi har dermed fundet andenkoordinaten til toppunktet. Vi kan se det passer med formlen:
\[T=\left (\frac {-b}{2a};\textcolor {red}{\frac {-d}{4a}}\right )\]
Ekstrema (svært og mest for A-niveau)
-
Sætning 10.3.1
Lad \(f\) være en differentialbel funktion som er defineret på et åbent interval \(I\).
Hvis \(f\) har et ekstremum i \(x_0\in I\), så er \(f'(x_0)=0\).
-
Bevis
Vi vil se på det tilfælde, hvor ekstremum er et maksimum. Beviset er helt tilsvarende, hvis der er tale om et minimum. Så antag at \(f\) har et maksimum i \(x_0\in I\):
At \(f\) har et maksimum i \(x_0\in I\) betyder at der er et åbent interval \(J\) omkring \(x_0\) hvor \(f(x_0)\) er større end eller lig med alle de andre funktionsværdier. Altså at \(f(x_0)\geq f(x)\) for alle \(x\in J\):
Fordi \(f\) er differentialbel i \(x_0\) ved vi at følgende grænseværdi eksisterer:
\[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]
Vi husker at når vi har grænseværdier, så kan \(\Delta x\) både kan være positiv og negativ. Vi vil nu undersøge grænseværdien når \(\Delta x\) er negativ og derefter når \(\Delta x\) er positiv.
Antag at \(\Delta x<0\):
Da \(f(x_0)\geq f(x)\) for alle \(x\in J\), vil \(f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\leq 0\), når \(\Delta x\) kommer tilstrækkelig tæt på nul.
Så er vi tæt på \(x_0\), vil både tæller og nævner i brøken \(\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) være negative, hvilket gør brøken positiv.
Heraf kan vi konkludere at \(f'(x_0)\geq 0\) da den er givet ved grænseværdien af en brøk som altid er positiv.
Antag nu at \(\Delta x>0\):
Her gælder stadigt at \(f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\leq 0\), når \(\Delta x\) kommer tilstrækkelig tæt på nul, men nu er \(\Delta x>0\), så brøken \(\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) bliver negativ.
Heraf kan vi konkludere at \(f'(x_0)\leq 0\) da den er givet ved grænseværdien af en brøk som altid er negativ.
Vi har nu vist at \(f'(x_0)\geq 0\) og \(f'(x_0)\leq 0\), hvilket må betyde at \(f'(x_0)=0\).
Den anden afledet og ekstrema (A)
Vi skal nu se på et argument for sætningen:
-
Sætning 10.5.2
Lad \(f\) være en to gange differentiabel funktion og lad \(x_0\) være et tal, som opfylder at \(f'(x_0)=0\).
Hvis \(f''(x_0)>0\), så har \(f\) minimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Hvis \(f''(x_0)<0\), så har \(f\) maksimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Jeg vil argumentere for sætningen på to måder. Ingen af de to måder er dog helt gode nok til, at man kan kalde det for et bevis.
Hurtigt, men svagt argument
Udgangspunktet i sætningen er et \(x_0\), som opfylder at \(f'(x_0)=0\). Det må betyde at der er en vandret tangent i punktet \(\big (x_0,f(x_0)\big )\):
Hvis nu \(f''(x_0)>0\), må det ifølge sætning 10.5.1 betyde, at \(f\) er konveks (krummer opad) omkring det punkt . Så lad os prøve at tegne en
funktion, der krummer opad:
Vi ser, at der er minimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\). Tilsvarende gælder, at hvis \(f''(x)<0\), må funktionen være konkav (krummer nedad):
Vi ser at der nu er maksimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Desværre er det et lidt upræcis måde at argumentere på. For det første er det lidt sløset måde vi anvender sætning 10.5.1 (det er ikke klart, hvad intervallet \(I\) er).
For det andet, argumenterer vi ud fra skitser af grafer — kan vi være sikker på at argumentet gælder uanset, hvordan graferne ser ud? Men argumentet er super godt til at forstå og dermed huske sætningen. Altså man kan tænke
sig frem til sætningen, når man har forstået argumentet.
Lidt bedre argument
Jeg vil nu give stærkere argument for sætningen, men stadig ikke helt godt nok til, at man kan kalde det for et bevis. Sætningen indeholder to påstande:
-
1. Hvis \(f'(x_0)=0\) og \(f''(x_0)>0\), så har \(f\) minimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
-
2. Hvis \(f'(x_0)=0\) og \(f''(x_0)<0\), så har \(f\) maksimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Jeg vil nu argumentere for første påstand, så antag, at \(f'(x_0)=0\) og \(f''(x_0)>0\). At \(f'(x_0)=0\) betyder at \(f'\) har et nulpunkt i \(x=x_0\):
Jeg har gjort punktet rødt, for at signalere, at det er et punkt på grafen for \(f'\) og altså ikke på grafen for \(f\). At \(f''(x_0)>0\) betyder at \(f'\) har en tangent med en positiv hældning i
\((x_0,f'(x_0))\):
Igen er der ikke tale om en tangent for \(f\), men derimod for \(f'\). Vi ved ikke, hvordan grafen for \(f'\) ser ud, men vi ved at grafen ligger op ad tangenten i det røde punkt, og det må betyde at \(f'\) er
negativ lige til venstre for punktet og positiv lige til højre for punktet. Vi har altså tabellen.
\(\begin {array}{ | c | c | c | c |} \hline x & & x_0 & \\ \hline f'(x) &- & 0 & + \\ \hline \end {array}\)
Vi husker, at en negativ \(f'\) betyder at \(f\) er aftagende, mens en positiv \(f'\) betyder at \(f\) er voksende. Så:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c |} \hline x & & x_0 & \\ \hline f'(x) &- & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & & \nearrow \\ \hline \end {array}\)
Vi ser af tabellen, at \(f\) har minimum i \(x=x_0\), hvilket var det, vi gerne ville vise.
Øvelse 10.7.1
Jeg har kun argumenteret for sætningens første påstand.
Øvelse 10.7.1
-
a) Det er præcis samme argument, bortset fra, at vi har en tangent til \(f'\) i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\) med en negativ hældning i stedet for
positiv. Det giver os:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c |} \hline x & & x_0 & \\ \hline f'(x) &+& 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & & \searrow \\ \hline \end {array}\)
Vi ser, at \(f\) i dette tilfælde har maksimum i \(x=x_0\).