MATHHX B
12.3 Hændelser
Dette kapitel er for elever på 2024-ordningen. Dvs. elever startet i 2024 eller senere. Er du på den gamle ordning skal du i stedet læse dette kapitel.
-
Forudsætninger
Dette afsnit kræver kendskab til mængdeoperationer. Så regn afsnit 1.10, hvis du ikke allerede har gjort det.
Lad os sige, at vi spiller et spil med en terning, og har brug for at slå en 5’er eller en 6’er for at vinde. I det tilfælde er vi ligeglade med, om vi slår 5 eller 6, bare vi slår en af de to. En sådan begivenhed kaldes en hændelse. Mere præcist:
Så i forhold til vores spil, hvor vi var interesserede i at slå 5 eller 6, så er vi altså interesserede i hændelsen \(A=\{{\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}\), og denne hændelse indtræffer altså, hvis vi slår 5 eller 6.
Nogle gange vil vi tillade os at beskrive en hændelse med ord, i stedet for at opskrive de udfald som hændelsen består af. F.eks. kunne vi beskrive hændelsen \(A=\{{\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}\) som:
\[A=\text {''Mindst 5 øjne''}\]
Når vi skriver \(A\) på den måde, kan man godt komme til at glemme at \(A\) er en mængde. Men det er en mængde! I mangle tilfælde er det bare simplere at beskrive mængden med ord end at skrive dens elementer op.
-
Eksempel 12.3.1
Trækker vi et kort fra et kortspil er det det stokastisk eksperiment. Udfaldsrummet består af de 52 kort som er i kortspillet. Følgende er eksempler på hændelser i dette udfaldsrum:-
• \(A=\text {''En hjerter''}\).
-
• \(B=\text {''Et rødt kort''}\) (altså en hjerter eller en ruder. Ikke det røde kort i fodbold)
Der er 52 kort i et kortspil og en fjerdedel af dem er hjertere, så der er 13 udfald i hændelsen \(A\). Halvdelene af kortene er røde så der er 26 udfald i \(B\).
Skulle vi skrive hændelsen \(A\) op på mængdeform, skulle vi skrive
\[A=\{2 \heartsuit , 3\heartsuit \, 4\heartsuit , 5\heartsuit , 6\heartsuit , 7\heartsuit ,8 \heartsuit , 9 \heartsuit , 10\heartsuit , \text {J}\heartsuit , \text {Q}\heartsuit ,\text {K}\heartsuit ,\text {A}\heartsuit \}\]
Meget besværligt og svært at overskue. Så \(A=\text {''En hjerter''}\) er en bedre måde angive hændelsen.
-
Øvelse 12.3.1
Antag, at vi kaster en terning.
-
a) Opskriv hændelsen \(A=\textrm {''Et lige antal øjne''}\) på mængdeform. Altså skriv \(A\) på formen \(A=\{\ldots \}\).
Løsning 12.3.1
-
a) \(A=\{{\Large ⚁} , {\Large ⚃} , {\Large ⚅} \}\)
Sandsynligheden for en hændelse
Sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, findes ved at lægge sandsynlighederne for de udfald, der ligger i hændelsen, sammen.
-
Eksempel 12.3.2
Vi ser på igen på vores snydeterning\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline u & {\Large ⚀} & {\Large ⚁} & {\Large ⚂} & {\Large ⚃} & {\Large ⚄} & {\Large ⚅} \\ \hline P(u) & \frac {1}{12} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} &\frac {1}{4}\\ \hline \end {array}\)
Vi vil bestemme sandsynligheden for hændelsen \(A=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚅} \}\):
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{equation*} \begin{split} P(A) & = P({\Large ⚀} )+ P({\Large ⚅} ) \\[5pt] & = \frac {1}{12} + \frac {1}{4 }\\[10pt] & = \frac {1}{3} \end {split} \end{equation*}
Så \(P(A)=\frac {1}{3}\).
Øvelse 12.3.2
Med udgangspunkt i snydeterningen fra ovenstående eksempel.
-
a) Bestem sandsynligheden for at slå 4, 5 eller 6.
Løsning 12.3.2
-
a)
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)
\begin{align*} P(\{{\Large ⚃} , {\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}) & = P({\Large ⚃} ) + P({\Large ⚄} ) + P({\Large ⚅} )\\[5pt] & = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} + \frac {1}{4}\\[10pt] & = \frac {2}{12} + \frac {2}{12} + \frac {3}{12}\\[10pt] & = \frac {7}{12} \end{align*}
Symmetriske sandsynlighedsfelter
Kaster man en almindelig terning, er der lige stor sandsynlighed for alle udfald. Sådan et sandsynlighedsfelt kaldes et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
Øvelse 12.3.3
Et terningkast er et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
-
a) Gælder et også hvis det er en snydeterning?
Løsning 12.3.3
-
a) Nej
I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan man regne sandsynligheden for en hændelse \(A\) ved hjælp af formlen:
\[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}\]
-
Eksempel 12.3.4
Vi kaster en almindelig terning. Vi vil regne sandsynligheden for hændelsen\[A=\textrm {''et lige antal øjne''}\]
Vi kan regne sandsynligheden ved at sige:
\[P(A)=P({\Large ⚁} )+P({\Large ⚃} )+ P({\Large ⚅} )\]
Men da vi har et symmetriske sandsynlighedsfelt (alle udfald har samme sandsynlighed) er det nemmere at bruge formlen:
\[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}\]
Der er \(6\) mulige udfald på en terning og \(3\) af disse er gunstige (dvs. viser et lige antal øjne). Så vi får
\[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}=\frac {3}{6}=\frac {1}{2}\]
Øvelse 12.3.4
Bestem sandsynligheden for følgende hændelser:
-
a) En rollespilsnørd (tænk din matematiklærer) spiller et ”pen and paper” rollespil. Han slår med et 8-siddet terning. Hvad er sandsynligheden for at slå mere end 2?
-
b) Vi trækker et kort fra et almindeligt kortspil. Hvad er sandsynligheden for at få en hjerter? Jeg kan oplyse at der \(13\) hjerter og \(52\) kort i et almindeligt kortspil.
Løsning 12.3.4
-
a) \(\frac {6}{8}=\frac {3}{4}\)
-
b) \(\frac {13}{52}=\frac {1}{4}\)
Sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) indtræffer
Har man to hændelser \(A\) og \(B\), er sandsynligheden for at mindst en af dem indtræffer \(P(A\cup B)\). Det er fordi \(A\cup B\) består af alle udfaldene fra \(A\) og \(B\), så de udfald, vi er interesseret i, er netop udfaldene i \(A\cup B\). Sandsynligheden \(P(A\cup B)\) er nemmest at bestemme, hvis \(A\) og \(B\) er disjunkte. Dvs., hvis \(A\) og \(B\) ikke har nogle udfald tilfælles. I det tilfælde gælder:
I sætningen er \(P(A\cup B)\) altså sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer.
-
Eksempel 12.3.5
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)
Vi kaster en terning. Hændelserne \(A=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚅} \}\) og \(B=\{{\Large ⚁} ,{\Large ⚃} ,{\Large ⚄} \}\) er disjunkte, da de to hændelser ikke har nogle udfald tilfælles. Vi regner sandsynligheden \(P(A\cup B)\):\begin{align*} P(A\cup B) & = P(A)+P(B)\\ & = \frac {2}{6}+\frac {3}{6}\\ & = \frac {5}{6} \end{align*} Sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer er altså \(\frac {5}{6}\).
Øvelse 12.3.5
Afgør, hvilke af følgende par af hændelser som er disjunkte:
-
a) Vi kaster med en terning: \(A=\{{\Large ⚅} \}\)
\(B=\textrm {''Et lige antal øjne''}\). -
b) Vi kaster to terninger:
\(A = \textrm {''summen af antal øjne er større end 4''}\)
\(B= \textrm {''den første terning er en 1'er''}\). -
c) Vi trækker et kort fra et almindeligt spil kort: \(A = \textrm {''en spar''}\)
\(B = \textrm {''et billedkort''}\).
Løsning 12.3.5
-
a) Ikke disjunkte
-
b) Ikke disjunkte
-
c) Ikke disjunkte. Haha ingen af dem var disjunkte.
Øvelse 12.3.6
Antag, at vi kaster en almindelig terning. Bestem som i eksempel 12.3.5 sandsynligheden for at få en af hændelserne i følgende par af hændelser.
-
a) \(A=\{{\Large ⚀} ,{\Large ⚁} \}\) og \(B=\{{\Large ⚄} ,{\Large ⚅} \}\).
-
b) \(A=\text {''en 1'er eller en 3'er''}\) og \(B=\textrm {''et lige antal øjne''}\).
Løsning 12.3.6
Bestem som i eksempel 12.3.5 sandsynligheden for at få en af hændelserne i følgende par af hændelser.
-
a) Sandsynligheden er \(\frac {2}{3}\).
-
b) Sandsynligheden er \(\frac {5}{6}\).
Hvis \(A\) og \(B\) ikke er disjunkte, er det lidt mere kompliceret. Her får vi brug for additionsloven:
Vi ser at additionsloven ligner reglen for disjunkte hændelser, bortset fra det ekstra led \(P(A\cap B)\). Vi husker at \(A\cap B\) består af alle de udfald som ligger i både \(A\) og \(B\).
-
Eksempel 12.3.6
Antag, at vi kaster en terning. Definer følgende hændelser:\(A=\text {''Et lige antal øjne''}\)
\(B=\text {''Antallet af øjne er højst 3''}\)Vi ser at hændelserne ikke er disjunkte, da \({\Large ⚁} \) er indeholdt i begge hændelser. Vi skal derfor bruge additionsloven for at finde sandsynligheden for at \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer. Vi har:
\(P(A)=\frac {3}{6}=\frac {1}{2}\)
\(P(B)=\frac {3}{6}=\frac {1}{2}\)Vi mangler nu at regne \(P(A\cap B)\). Vi finder først mængden \(A\cap B\). Den består af alle de udfald som er i både \(A\) og \(B\). Det eneste udfald, hvor antallet af øjne både er lige og mindre end \(3\), er \({\Large ⚁} \). Så:
\(A\cap B=\{{\Large ⚁} \}\)
Det giver os at
\(P(A\cap B)=\frac {1}{6}\)
Ved indsættelse i additionsloven får vi:
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{align*} P(A\cup B ) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & = \frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{6}\\ & = 1- \frac {1}{6}\\ & = \frac {5}{6} \end{align*}
Så sandsynligheden for at antallet af øjne er lige eller højst \(3\) er \(\frac {5}{6}\).
Eksemplet kunne være regnet hurtigere uden additionsloven, men så havde du ikke fået illustreret, hvordan additionsloven virker, vel?
Øvelse 12.3.7
Vi vender tilbage til snydeterningen med sandsynlighedstabellen:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline u & {\Large ⚀} & {\Large ⚁} & {\Large ⚂} & {\Large ⚃} & {\Large ⚄} & {\Large ⚅} \\ \hline P(u) & \frac {1}{12} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} &\frac {1}{4}\\ \hline \end {array}\)
Definer følgende hændelser:
\(A=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚅} \}\) \(B=\{{\Large ⚀} ,{\Large ⚁} \,{\Large ⚄} \}\)
-
a) Bestem \(P(A)\) og \(P(B)\)
-
b) Bestem \(A\cap B\) og \(P(A\cap B)\)
-
c) Bestem \(P(A\cup B)\) ved hjælp af additionsloven.
-
d) Hvad er det nu \(P(A\cup B)\) betyder?
Løsning 12.3.7
-
a) \(P(A)=\frac {1}{3}\) og \(P(B)=\frac {5}{12}\).
-
b) \(A\cap B=\{{\Large ⚀} \}\) og \(P(A\cap B)=\frac {1}{12}\).
-
c) \(P(A\cup B)=\frac {1}{3}+\frac {5}{12}-\frac {1}{12}=\frac {2}{3}\)
-
d) Det betyder ”sandsynligheden for, at \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer”.
Øvelse 12.3.8
Antag, at vi kaster en almindelig terning.
Lad der være givet følgende hændelser:
\(A=\text {''Et ulige antal øjne''}\)
\(B=\text {''Antallet af øjne er mindst 4''}\)
\(C=\text {''Antallet af øjne er 6'}\)
Ved hjælp af loven for disjunkte hændelser eller additionsloven, skal du bestemme følgende sandsynligheder:
-
a) Sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer.
-
b) Sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(C\) (eller begge) indtræffer.
-
c) Sandsynligheden for at enten \(B\) eller \(C\) (eller begge) indtræffer.
Løsning 12.3.8
-
a) \(P(A\cup B)=\frac {5}{6}\)
-
b) \(P(A\cup C)=\frac {2}{3}\)
-
c) \(P(B\cup C)=\frac {1}{2}\)
Komplementære hændelser
For en mængde \(A\) består komplementærmængden \(\overline {A}\) af alle de udfald, som ikke ligger i \(A\).
To hændelser \(A\) og \(B\) er altså komplementære, hvis \(B\) består af alle de udfald, som ikke ligger i \(A\).
Øvelse 12.3.9
Bestem, hvilke af følgende par af hændelser som er komplementære
-
a) Vi kaster en terning:
\(A=\textrm {''et lige antal øjne''}\) og \(B=\textrm {''et ulige antal øjne''}\). -
b) Vi kaster en mønt:
\(A=\textrm {''plat eller krone''}\) og \(B=\textrm {''krone''}\) -
c) Vi kaster to terninger:
\(A=\textrm {''Vi får to 5'ere eller to 6'ere''}\) og \(B=\textrm {''summen er større end 11''}\).
Løsning 12.3.9
-
a) Komplementære
-
b) Ikke komplementære
-
c) Ikke komplementære
Der gælder
-
Eksempel 12.3.8
Vi vender tilbage til snydeterningen med sandsynlighedstabellen:\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline u & {\Large ⚀} & {\Large ⚁} & {\Large ⚂} & {\Large ⚃} & {\Large ⚄} & {\Large ⚅} \\ \hline P(u) & \frac {1}{12} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} &\frac {1}{4}\\ \hline \end {array}\)
Vi vil gerne bestemme sandsynligheden for ikke at slå en 6’er. Her er det smart at tage udgangspunkt i hændelsen:
\[A= \{{\Large ⚅} \}\]
Den ønskede hændelse er den komplementære hændelse:
\[\overline {A}=\textrm {''ikke en 6'er''}\]
Vi bestemmer \(P(\overline {A})\):
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{align*} P(\overline {A}) & = 1 - P(A) \\ & = 1-\frac {1}{4}\\[10pt] & =\frac {3}{4} \end{align*} Sandsynligheden for ikke at slå en 6’er er altså \(\frac {3}{4}\).
Øvelse 12.3.10
Vi bliver ved snydeterningen fra ovenstående eksempel.
-
a) Bestem sandsynligheden for at slå mindst 2.
Løsning 12.3.10
-
a) \(1-\frac {1}{12}=\frac {11}{12}\)
Øvelse 12.3.11
En elev udtænker et snedigt spil, således at eleven har \(58\%\) chance for at vinde penge fra sin dansklærer.
-
a) Vi kigger på hændelsen: ”Eleven vinder”. Hvad er den komplementære hændelse?
-
b) Hvad er sandsynligheden for den komplementære hændelse? Hvilken betydning har den sandsynlighed?
Løsning 12.3.11
-
a) Den komplementære hændelse er ”eleven taber”
-
b) Sandsynligheden er \(42\%\). Det betyder at der er \(42\%\) risiko for at eleven taber.
-
Eksempel 12.3.9
En gruppe elever fra Niels Brock vil undersøge om forskellige kagetyper er lige populære hos de to køn (jeg ved godt, der er flere køn, men vi holder det simpelt her, sorry). De spørger eleverne i to klasser, og når frem til:. Dreng Pige Total Drømmekage\(13\) \(5\) \(18\) Chokoladekage\(14\) \(11\) \(25\) Andet\(6\) \(6\) \(12\) Total\(33\) \(22\) \(\textbf {55}\) Det er først i et senere kapitel, at vi kan afgøre, om der der er forskel på præferencerne hos de to køn, så i dette kapitel vil nøjes med at kigge på, hvordan tabellen kan bruges i forbindelse med sandsynlighedsregning.
Forstil dig, at vi udvælger en tilfældig elev blandt dem som har deltaget i undersøgelsen. Der er mange forskellige hændelser vi kan betragte i forbindelse med skemaet, men vi vælger at se på hændelserne:
\(A=\text {''Har Drømmekage som yndlingskage''}\)
\(B=\text {''Er en pige''}\)Lad os bestemme \(P(A)\). Det er sandsynligheden for at få fat i en elev som fortrækker drømmekage. Dem er der \(18\) af og der er \(55\) elever i alt, så
\[P(A)=\frac {18}{55}\]
Vi kan også kombinere hændelser. Som eksempel vil vi bestemme \(P\cap B\), som er sandsynligheden for at både \(A\) og \(B\) indtræffer. Dvs. sandsynligheden for, at vi har fået fat i en pige, som fortrækker drømmekage. Der er \(5\) piger som fortrækker drømmekage, så
\[P(A\cap B)=\frac {5}{55}=\frac {1}{11}\]
Øvelse 12.3.12
Definer, med udgangspunkt tabellen fra ovenstående eksempel, hændelserne:
\(A=\text {''Har chokoladekage som yndlingskage''}\)
\(B=\text {''Er en dreng''}\)
-
a) Bestem \(P(B)\) og forklar betydningen.
-
b) Bestem \(P(A)\) angivet i procent.
-
c) Bestem \(P(A\cap B)\) og forklar betydningen.
-
d) Bestem \(P(\overline {A})\) og forklar betydningen.
-
e) Brug additionsloven til at bestemme \(A\cup B\) og forklar betydningen.
Løsning 12.3.12
-
a) \(P(B)=\frac {3}{5}\) (giver \(\frac {33}{55}\), som derefter forkortes). Det er sandsynligheden for at få fat i en dreng.
-
b) \(P(A)=45\%\)
-
c) \(P(A\cap B)=\frac {14}{55}\), som er sandsynligheden for at få fat i en dreng, som fortrækker chokoladekage.
-
d) \(P(\overline {A})=\frac {6}{11}\) som er sandsynligheden for at få fat i en elev, som ikke har chokoladekage som yndlingskage.
-
e)
\(\seteqnumber{0}{12.}{0}\)\begin{align*} P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[10pt] & = \frac {25}{55} + \frac {3}{5}-\frac {14}{55}\\[10pt] & = \frac {4}{5} \end{align*} Dette betyder, at der er \(80\%\) sandsynlighed for at få fat i en chokladekageelsker eller en dreng.
Ekstra
Formuleringen ”Sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, findes ved at lægge sandsynlighederne for de udfald, der hører til hændelsen, sammen” kan udtrykkes matematisk på følgende måde:
\[P(A)=\sum _{u\in A} P(u)\]
Det betyder, at man for hvert \(a\in A\) skal regne \(P(A)\) og så lægge alle sandsynligheder sammen til sidst.